2008 사관학교 시험 해설	수리 영역(인문)

수리 영역(문과)

1. ⑤	2. ①	3. ⑤	4. ③	5. ①

6. ③	7. ④	8. ②	9. ④	10. ③

11. ②	12. ②	13. ④	14. ④	15. ④

16. ②	17. ⑤	18. ②	19. ①	20. ⑤

21. ①	22. ③	23. ①	24. ③	25. 16

26. 101	27. 362	28. 75	29. 288	30. 22

1. 지수와 로그

정답 ⑤

[eqn: a^2 ·^5 root b =1]에서

[eqn: a^2 · b^{1 over 5} =1]

양변을 5제곱하면

[eqn: a^10 ·b=1]    ∴ [eqn: b=a^-10]

이 때, [eqn: ab=a·a^-10 =a^-9]이므로 주어진 식은

[eqn: log_a `` 1 over ab = log_a `` 1 over a^-9 = log_a ```a^9 =9]

2. 행렬

정답 ①

행렬 [eqn: ABA^-1]의 역행렬이 [eqn: A]이므로

[eqn: (ABA^-1 )A=E]

[eqn: AB=E]

즉, [eqn: A]의 역행렬이 [eqn: B]이므로

[eqn: B=A^-1 = 1 over -4+5 left( -2 atop 1 `` -5 atop 2 right) = left(-2 atop 1 `` -5 atop 2 right)]

따라서, 행렬 [eqn: B]의 모든 성분의 합은

[eqn: -2+(-5)+1+2=-4]

3. 확률

정답 ⑤

두 사건 [eqn: A], [eqn: B]가 서로 독립이므로 [eqn: {rm P}(A SMALLINTER B)={rm P}(A)·{rm P}(B)]

또한 [eqn: {rm P}(B)={rm P}(A SMALLUNION B)-{rm P}(A SMALLINTER B^C )]

[eqn: = 4 over 5 - 1 over 3]

[eqn: = 12-5 over 15]

[eqn: = 7 over 15]

[eqn: {rm P}(A SMALLUNION B)={rm P}(A)+{rm P}(B)-{rm P}(A SMALLINTER B )]

[eqn: ={rm P}(A)+{rm P}(B)-{rm P}(A)·{rm P}(B)]

[eqn: 4 over 5 ={rm P}(A)+ 7 over 15 - 7 over 15 {rm P}(A)]

[eqn: = 8 over 15 {rm P}(A)+ 7 over 15]

[eqn: THEREFORE~ 8 over 15 {rm P}(A)= 4 over 5 - 7 over 15]

[eqn: = 5 over 15]

[eqn: = 1 over 3]

[eqn: THEREFORE~ {rm P}(A)= 1 over 3 TIMES 15 over 8 = 5 over 8]

4. 지수와 로그

정답 ③

[eqn: 0≦ alpha <1]이므로 [eqn: 0≦ alpha^2 <1]

[eqn: ( log `x )^2 + alpha^2 =8]에서 [eqn: 7<( log `x )^2 ≦8]

[eqn: THEREFORE ~ log `x =2+ alpha] ……………………………………… ㉠

㉠을 주어진 식에 대입하면

[eqn: (2+ alpha)^2 + alpha^2 =8]

[eqn: 2 alpha^2 +4 alpha+4 =8]

[eqn: alpha^2 +2 alpha-2 =0]

[eqn: alpha= {-2+- sqrt {4+8 }} over 2 = {-2+- 2sqrt {3 }} over 2 = -1+- sqrt {3 }]

[eqn: THEREFORE~ alpha= -1+ sqrt {3 } ( BECAUSE~0 ≦alpha<1)]

[eqn: THEREFORE~ log `x= 2+(-1+ sqrt {3 })=1+ sqrt {3 }]

5. 수열의 극한

정답 ①

[eqn: a_2 a_1 = 1 over 4]에서 [eqn: a_2 = 1 over 4a_1 = 1 over 8 =2 · left ( 1 over 4 right ) ^2]

[eqn: a_3 a_2 = left ( 1 over 4 right ) ^2]에서 [eqn: a_3 = left ( 1 over 4 right ) ^2 · 1 over a_2 = 8 · left ( 1 over 4 right ) ^2 = 2 · 1 over 4]

[eqn: a_4 a_3 = left ( 1 over 4 right ) ^3]에서 [eqn: a_4 = left ( 1 over 4 right ) ^3 · 1 over a_3 = 2 · left ( 1 over 4 right ) ^3]

[eqn: a_5 a_4 = left ( 1 over 4 right ) ^4]에서 [eqn: a_5 = left ( 1 over 4 right ) ^4 · 1 over a_4 = left ( 1 over 4 right ) ^4 · 1 over 2 · 4^3 = 1 over 2 · 1 over 4]

[eqn: a_6 a_5 = left ( 1 over 4 right ) ^5]에서 [eqn: a_6 = left ( 1 over 4 right ) ^5 · 1 over a_5 = left ( 1 over 4 right ) ^5 · 2 · 4 = 2 · left ( 1 over 4 right ) ^4]

[eqn: a_7 a_6 = left ( 1 over 4 right ) ^6]에서 [eqn: a_7 = left ( 1 over 4 right ) ^6 · 1 over a_6 = left ( 1 over 4 right ) ^6 · 1 over 2 · 4^4 = 1 over 8 · 1 over 4]

[eqn: VDOTS]

∴ [eqn: a_2n-1 = 2 · left ( 1 over 4 right ) ^n-1], [eqn: a_2n = 2 · left ( 1 over 4 right ) ^2 · left ( 1 over 4 right ) ^n-1]

∴ [eqn: SUM from n=1 to INF a_2n-1 + SUM from n=1 to INF a_2n = 2 over {1- 1 over 4 } + {2 · left( 1 over 4 right)^2 } over {1- 1 over 4 }]

[eqn: = 8 over 3 + 8 over 3 · left( 1 over 4 right)^2]

[eqn: = 8 over 3 + 1 over 6]

[eqn: = 17 over 6]

6. 확률변수와 통계적 추정

정답 ③

[eqn: X=1]일 때 [eqn: {rm P} (X)= { `_4{rm C}_2} over { `_5{rm C}_3} = 6 over 10 = 3 over 5]

[eqn: X=2]일 때 [eqn: {rm P} (X)= { `_3{rm C}_2} over { `_5{rm C}_3} = 3 over 10]

[eqn: X=3]일 때 [eqn: {rm P} (X)= { `_2{rm C}_2} over { `_5{rm C}_3} = 1 over 10]

∴ [eqn: {rm E} (X) = 1 · 3 over 5 + 2 · 3 over 10 + 3 · 1 over 10]

[eqn: = 3 over 5 + 3 over 5 + 3 over 10]

[eqn: = 15 over 10]

[eqn: = 3 over 2]

7. 수열

정답 ④

[eqn: a_n = S_n - S_n-1]

[eqn: = n^3 +pn- "{" (n-1)^3 +p(n-1) "}"]

[eqn: = n^3 +pn- "{" n^3 -3n^2 +3n-1+pn-p "}"]

[eqn: = 3n^2 -3n+(1+p)]

조건 (나)에 의해

[eqn: b_n = 3n^2 -3n+(1+p)- "{" 3(n-1)^2 -3(n-1)+(1+p) "}"]

[eqn: = 3n^2 -3n+(1+p)- "{" 3n^2 -6n+3-3n+3+(1+p) "}"]

[eqn: = 6n-6]

[eqn: a_1 =1+p], [eqn: b_1 =0]이므로 조건 (가)에 의해

[eqn: p=-1]

8. 행렬

정답 ②

[eqn: a over -2b-3 = 1 over b+2 != 2-a over 3]

[eqn: ab+2a=-2b-3]에서 [eqn: ab+2a+2b+3=0]

[eqn: (a+2)(b+2)=1]

[eqn: a,~b]가 정수이므로

[eqn: a=-3,~b=-3] 또는 [eqn: a=-1,~b=-1]

ⅰ) [eqn: a=-3,~b=-3]일 경우

[eqn: 1 over b+2 != 2-a over 3]

ⅱ) [eqn: a=-1,~b=-1]일 경우

[eqn: 1 over b+2 = 2-a over 3]

따라서 [eqn: a=-3,~b=-3]이므로 [eqn: a+b=-6]이다.

9. 지수함수와 로그함수

정답 ④

[eqn: f`(x) = log _{1 over 2} (y+1) - log _{1 over 2} (x+3)]이라 하면

[eqn: f`(x) = log _{1 over 2} y+1 over x+3]

밑이 [eqn: 1 over 2]이므로 함수 [eqn: f`(x)]는 감소함수이다. 그러므로 진수가 최대일 때 최솟값을 갖는다.

[eqn: y+1 over x+3 = k]로 놓으면

[eqn: y+1 = k(x+3)]

이 직선은 [eqn: k]의 값에 관계없이 항상 점 [eqn: (-3,~-1)]을 지난다.

위의 그림에서와 같이 직선이 원에 접하려면 원의 중심 [eqn: (0,~0)]에서 직선 [eqn: kx-y+3k-1=0]까지의 거리가 반지름의 길이 [eqn: 1]과 같아야 한다.

[eqn: { |3k-1| } over sqrt {k^2 +1 } = 1]

[eqn: |3k-1| = sqrt {k^2 +1 }]

양변을 제곱하면

[eqn: 9k^2 -6k+1 = k^2 +1]

[eqn: 8k^2 -6k = 0]

[eqn: 2k(4k-3) = 0]

∴ [eqn: k=0] 또는 [eqn: k= 3 over 4]

진수가 최대일 때, 즉 [eqn: k= 3 over 4]일 때 함수 [eqn: f`(x)]가 최솟값을 가지므로 [eqn: log _{1 over 2} 3 over 4 =m]

[eqn: left (1 over 2 right ) ^m = 3 over 4]

∴ [eqn: 2^m = 4 over 3]

10. 수열

정답 ③

ㄱ. 참

[eqn: a_n =b_n]이므로 [eqn: b_n =a_n+1 -a_n]에서 [eqn: a_n =a_n+1 -a_n]

∴ [eqn: 2a_n =a_n+1]

따라서 수열 {[eqn: a_n]}은 공비가 [eqn: 2]인 등비수열이다.

ㄴ. 거짓

수열 {[eqn: 2^{b_n}]}이 등비수열이면 [eqn: (2^{b_n})^2 = 2^{b_n-1} · 2^{b_n+1}]

∴ [eqn: 2b_n = b_n-1 + b_n+1]

그러므로 수열 {[eqn: b_n]}은 등차수열이다.

따라서 수열 {[eqn: b_n]}의 공차가 [eqn: 0]인 경우만 수열 {[eqn: a_n]}이 등차

수열이므로 수열 {[eqn: a_n]}은 등차수열이라고 할 수 없다.

ㄷ. 참

수열 {[eqn: log_2 ``a_n]}이 등차수열이면

[eqn: 2log_2 ``a_n+1 = log_2 ``a_n + log_2 ``a_n+2]

[eqn: log_2 ``a_n+1`^2 = log_2 ``a_n a_n+2]

∴ [eqn: a_n+1`^2 = a_n a_n+2]

그러므로 수열 {[eqn: a_n]}은 등비수열이다.

∴ [eqn: b_n = a_1 r^n - a_1 r^n-1 = a_1 r^n-1 (r-1) = a_1 (r-1) · r^n-1]

따라서 수열 {[eqn: b_n]}은 첫째항이 [eqn: a_1 (r-1)], 공비가 [eqn: r]인 등비

수열이다.

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

11. 수열의 극한

정답 ②

ㄱ. 거짓

【반례】[eqn: a_n <c_n <b_n]이므로 [eqn: a_n = n+1 over n], [eqn: b_n = 3n+1 over n],

[eqn: c_n = 2n+1 over n]로 놓으면

[eqn: lim _{ n->inf} { a_n} =1], [eqn: lim _{ n->inf} { b_n} =3], [eqn: lim _{ n->inf} { c_n} =2]

∴ [eqn: lim _{ n->inf} { a_n} != lim _{ n->inf} { b_n}]

ㄴ. 참

[eqn: n->inf]일 때 {[eqn: c_n]}이 발산하면 [eqn: lim _{ n->inf} { a_n} = alpha], [eqn: lim _{ n->inf} { b_n} = beta]이므

로 진동한다.

∴ [eqn: alpha < beta]

ㄷ. 거짓

[eqn: alpha = beta =0]이면 [eqn: lim _{ n->inf} { c_n} =0]이므로 {[eqn: c_n]}은 수렴한다.

하지만 [eqn: lim _{ n->inf} { c_n} =0]이라고 [eqn: sum _{ n=1} ^{ INF } c_n]이 수렴하지는 않는다.

【반례】[eqn: c_n = 1 over n]이라 하면

[eqn: lim _{ n->inf} { 1 over n} =0]이지만 [eqn: sum _{ n=1} ^{ INF } 1 over n]은 발산한다.

따라서 옳은 것은 ㄴ뿐이다.

12. 지수함수와 로그함수

정답 ②

ㄱ. 거짓

[eqn: 1<a]이고, [eqn: 0< log _a `c <1]이면 [eqn: 1<c <a]

[eqn: b>1]이므로 [eqn: log _b `c < log _b `a]

ㄴ. 참

[eqn: 0<a<1]이므로 [eqn: log _a `1 =0< log _a `c <1= log _a `a]에서

[eqn: a<c <1]이다.

[eqn: b>1]이므로 [eqn: log _b `a < log _b `c]

ㄷ. 거짓

[eqn: 0<a<1]이므로  [eqn: log _a `c <0= log _a `1]에서 [eqn: c>1]이다.

양변에 밑을 [eqn: b]([eqn: b<1])로 하는 로그를 취하면

[eqn: log _b `c < log _b `1]

[eqn: log _b `c < 0]

밑 변환 공식에 의해 [eqn: {log _c `c} over {log _c `b} < 0]

[eqn: 1 over {log _c `b} < 0]

∴ [eqn: log _c `b < 0]

또, [eqn: 0<a<1]이므로 [eqn: b<1]에서 [eqn: log _a `b > log _a `1=0]

∴ [eqn: log _a `b > log _c `b]

따라서 옳은 것은 ㄴ뿐이다.

13. 확률

정답 ④

(i) [eqn: a=1,~b=0]일 확률

[eqn: 1 over 6 TIMES left ( 4 over 6 right ) ^3 TIMES 4= 16 over 81]

(ii) [eqn: a=2,~b=1]일 확률

[eqn: left ( 1 over 6 right ) ^2 TIMES 1 over 6 TIMES 4 over 6 TIMES 6 TIMES 2= 1 over 27]

(i), (ii)에서 [eqn: 16 over 81 + 1 over 27 = 19 over 81]

14. 순열과 조합

정답 ④

[eqn: a_n =]2nC2․2n-2C2․2n-4C2․…․2C2․[eqn: 1 over n!]이므로

[eqn: a_11 over a_10 = rm {`_22 C_2 ·_20 C_2 ․…․_2 C_2 · 1 over 11! `} over {`_20 C_2 ·_18 C_2 ․…․_2 C_2 · 1 over 10! `}]

=22C2․[eqn: 1 over 11 = 22·21 over 2·1 · 1 over 11 =21]

15. 수열

정답 ④

수열 [eqn: left{ root{a_n b_n `} right}]이 등차수열이므로 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: root{a_n `b_n `} + root{a_n+2 `b_n+2} = 2 root{a_n+1 ` b_n+1}=root{" "4a_n+1 `b_n+1}]

……………………………………… ㉠

또, 두 수열 [eqn: left{ a_n right}], [eqn: left{ b_n right}]이 등차수열이므로

[eqn: a_n +a_n+2 =2 a_n+1]  ………………………………………… ㉡

[eqn: b_n +b_n+2 =2 b_n+1] …………………………………………… ㉢

㉡, ㉢을 ㉠에 대입한 후, 양변을 제곱하여 정리하면

[eqn: 2root {a_n `b_n `a_n+2 `b_n+2 } =a_n `b_n+2 + a_n+2 `b_n]

다시 위 식의 양변을 제곱하여 정리하면

[eqn: 4a_n `b_n `a_n+2 ` b_n+2 = a_n`^2 b_n+2`^2 +2a_n `b_n `a_n+2 `b_n+2][eqn: +a_n+2`^2 b_n`^2]

[eqn: a_n`^2 `b_n+2`^2 - 2 a_n `b_n `a_n+2 `b_n+2 +a_n+2`^2 b_n`^2 =0]

[eqn: (a_n `b_n+2 - a_n+2 `b_n )^2 =0]

[eqn: a_n+2` b_n = ``a_n ` b_n+2 `]

∴ [eqn: b_n over a_n = b_n+2 over a_n+2 = `b_n+1 over a_n+1]

16. 확률변수와 통계적 추정

정답 ②

(가)에서 [eqn: σ＞1]이므로 위쪽에 있는 곡선이 [eqn: y=g(x)], 아래쪽에 있는 곡선이 [eqn: y=f`(x)]이다.

두 곡선으로 둘러싸인 부분의 넓이가 [eqn: 0.096]이므로

P [eqn: {rm P}(-1.5≦Z≦1.5)] [eqn: - {rm P}(-1.5≦X≦1.5)=0.096]

확률변수 [eqn: X]가 정규분포 N(0, [eqn: σ^2])을 따르므로

P [eqn: (-1.5≦Z≦1.5)-]P [eqn: left( -1.5 over σ ≦Z≦ 1.5 over σ right)=0.096]

P [eqn: (0≦Z≦1.5)-]P [eqn: left( 0 ≦Z≦ 1.5 over σ right)=0.048]

P [eqn: (0≦Z≦1.5)=0.433]이므로

P [eqn: left( 0 ≦Z≦ 1.5 over σ right)=0.433-0.048=0.385]

∴ [eqn: 1.5 over σ =1.2]

∴ [eqn: σ = 1.5 over 1.2 =1.25]

17. 수열의 극한

정답 ⑤

[eqn: a_n = left( 1 over 2 right)^n-1]이므로

[eqn: S_n = SUM from k=1 to n a_k = SUM from k=1 to n left(1 over 2 right)^k-1 = {1-left(1 over 2 right)^n} over {1- 1 over 2}]

[eqn: = 2 left{1- left(1 over 2 right)^n right}]

[eqn: T_n = SUM from k=n to inf a_k = SUM from k=n to inf left(1 over 2 right)^k-1]

[eqn: = SUM from k=1 to inf left(1 over 2 right)^k-1 -SUM from k=1 to n-1 left(1 over 2 right)^k-1]

[eqn: = 1 over {1- 1 over 2 } - 2 left{1- left(1 over 2 right)^n-1 right}]

[eqn: = 2-2+2left(1 over 2 right)^n-1 =2 left(1 over 2 right)^n-1]

ㄱ. 참

[eqn: a_n + S_n = left( 1 over 2 right)^n-1 +2 left{1-left(1 over 2 right)^n right}]

[eqn: = left( 1 over 2 right)^n-1 +2- left(1 over 2 right)^n-1]

[eqn: =2]

ㄴ. 참

[eqn: T_n =2 left( 1 over 2 right)^n-1 = left(1 over 2 right)^n-2 = a_n-1]

ㄷ. 참

[eqn: S_n +T_n =2 left{1- left(1 over 2 right)^n right} +2 left(1 over 2 right)^n-1]

[eqn: =2- left(1 over 2 right)^n-1 +2 left(1 over 2 right)^n-1]

[eqn: =2 + left(1 over 2 right)^n-1]

이므로 [eqn: lim from {n`→`inf}(S_n + T_n ) =2]

[eqn: SUM from k=1 to inf a_k = SUM from k=1 to inf left(1 over 2 right)^k-1]

[eqn: = 1 over {1- 1 over 2} =2]

∴ [eqn: lim from {n`→`inf}(S_n + T_n ) = SUM from k=1 to inf a_k]

따라서, ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다.

18. 확률변수와 통계적 추정

정답 ②

포도송이의 무게를 확률변수 [eqn: X]라 하면 [eqn: X]는 정규분포 [eqn: rm N(600], [eqn: 100^2 )]을 따른다.

포도송이의 무게가 [eqn: 636 rm g] 이상일 확률은

P [eqn: (X≧636)=]P [eqn: left ( Z≧ 36 over 100 right)]

[eqn: =]P [eqn: ( Z≧ 0.36)]

[eqn: = 0.5-]P [eqn: (0≦Z≦ 0.36)]

[eqn: = 0.5-0.14=0.36]

따라서 임의 추출된 100송이 중 [eqn: 636 rm g] 이상인 포도송이의 개수 [eqn: Y]는 이항분포 B(100, 0.36)을 따른다.

∴ E [eqn: (Y)=100×0.36=36]

V [eqn: (Y)=100×0.36×0.64=(4.8)^2]

따라서 확률변수 [eqn: Y]는 정규분포 N(36, [eqn: (4.8)^2])을 따르므로 구하는 확률은

P [eqn: (Y≧42)=]P [eqn: left (Z≧ 6 over 4.8 right)]

[eqn: =]P [eqn: (Z≧1.25)]

[eqn: =0.5-]P [eqn: (0≦Z≦1.25)]

[eqn: =0.5-0.39=0.11]

19. 지수함수와 로그함수

정답 ①

[eqn: log_2 ``n =- log_2 ``x]에서 [eqn: x= 1 over n]이므로

[eqn: {rm C}_n left(1 over n ,``log_2 ``n right)]

또, [eqn: {rm A}_n (n,``log_2``n )], [eqn: {rm B}_n (n,``-log_2``n )], D(1, 0)이므로

[eqn: S_n = 1 over 2 ·2`log_2 ``n ·(n-1)]

[eqn: = (n-1)log_2 ``n]

[eqn: T_n = 1 over 2 · left(n- 1 over n right) ·log_2 ``n]

[eqn: = 1 over 2 left(n- 1 over n right) log_2 ``n]

∴ [eqn: lim from {n`→` inf} T_n over S_n = lim from {n`→` inf} {1 over 2 left(n- 1 over n right) log_2 ``n} over {(n-1)log_2 ``n}]

[eqn: = lim from {n`→` inf} {n- 1 over n } over {2(n-1)}]

[eqn: = lim from {n`→` inf} {1- 1 over n^2 } over {2 left( 1- 1 over n right)}]

[eqn: = 1 over 2]

20. 수열

정답 ⑤

위의 표에서 대각선을 기준으로 위쪽에 있는 수와 아래쪽에 있는 수를 나누어 생각하면 위쪽에 있는 수들의 합은

[eqn: 1·3+2·5+3·7+…+9·19= SUM from k=1 to 9 k(2k+1)]

아래쪽에 있는 수들의 합은

[eqn: 1·2+2·4+3·6+…+10·20= SUM from k=1 to 10 k·2k]

따라서 구하는 자연수의 합은

[eqn: SUM from k=1 to 9 k(2k+1) + SUM from k=1 to 10 k·2k]

[eqn: = SUM from k=1 to 9 (2k^2 +k) + SUM from k=1 to 10 2k^2]

[eqn: = 2· 9·10·19 over 6 + 9·10 over 2 + 2· 10·11·21 over 6]

[eqn: = 570+45+770]

[eqn: =1385]

21. 수열의 극한

정답 ①

밑면인 원의 둘레의 길이는 [eqn: 50 pi]이므로 옆면인 부채꼴의 중심각의 크기를 [eqn: x]라 하면

[eqn: 200 pi · x over 360° =50pi]

∴ [eqn: x=90°]

[eqn: {rm AP}_k][eqn: = 100 over n ·k]이고, 점 [eqn: {rm P}_k]에서 원뿔의 옆면을 한 바퀴 돌아서 점 [eqn: {rm P}_k]로 되돌아오는 최단 경로는 오른쪽 그림의 [eqn: bar {{rm P}_k {rm Q}_k }]와 같으므로

[eqn: l_k =root2 · 100 over n ·k][eqn: = {100root2 k} over n]

∴ [eqn: S_n = SUM from k=1 to n l_k = SUM from k=1 to n {100root2 k} over n]

[eqn: = {100root2 } over n · n(n+1) over 2 = 50root2 (n+1)]

∴ [eqn: lim from {n`→`inf} S_n over n = lim from {n`→`inf} {50root2 (n+1)} over n = 50 root2]

22. 확률

정답 ③

동전을 5번 던질 때, 점 P가 지나간 자취와 직선 [eqn: y= 3 over 2]이 오직 한 점에서 만나려면 다음 그림의 1 경우를 제외하고 뒷면이 한 번 이하로 나와야 한다.

뒷면이 1번, 앞면이 4번 나오는 경우는 5가지, 앞면이 5번 나오는 경우는 1가지이므로 구하는 확률은

[eqn: 5+1-1 over 2^5 = 5 over 32]

23. 경우의 수

정답 ①

5개의 돌 중에서 3개를 뽑는 경우의 수는

5C3[eqn: = 5·4 over 2·1 =10]

(i) 가운데 원에 돌을 놓는 경우

가운데 원에 놓을 돌을 뽑는 경우의 수는 3C1이고, 나머지 4개의 원 중 2개의 원에 돌을 놓는 방법의 수는 이웃하게 놓는 2가지와 이웃하지 않게 놓는 1가지가 있으므로

3C1×(2+1)=9

(ii) 가운데 원에 돌을 놓지 않는 경우

나머지 4개의 원 중 3개의 원에 돌을 놓으면 되므로

3!=6

(i), (ii)에서 구하는 경우의 수는

10(9+6)=150

24. 지수와 로그

정답 ③

[eqn: f`(50)=a(1-b^50 )=400] ……………………………… ㉠

[eqn: f`(100)=a(1-b^100 )=640] …………………………… ㉡

㉡÷㉠을 하면

[eqn: {a(1-b^100 )} over {a(1-b^50 )} = 640 over 400]

[eqn: {(1-b^50 )(1+b^50 )} over {1-b^50 } = 1.6]

[eqn: 1+b^50 =1.6]

∴ [eqn: b^50 =0.6]

㉠에 대입하면

[eqn: a(1-0.6)=400]

∴ [eqn: a=1000]

∴ [eqn: f`(n)=1000 (1- 0.6^{n over 50} ) (∵``b=0.6^{1 over 50} )]

[eqn: 1000(1-0.6^{n over 50} )≧800]에서

[eqn: 1-0.6^{n over 50} ≧0.8]

[eqn: 0.6^{n over 50} ≦0.2]

양변에 상용로그를 취하면

[eqn: n over 50 {rm log} 6 over 10 ≦ log 2 over 10]

[eqn: n over 50 (log 2+log`3-1) ≦ log 2-1]

[eqn: -0.22 · n over 50 ≦-0.70]

[eqn: n ≧159.…]

따라서 총 흥행 수입이 처음으로 800억을 넘어서는 날을 개봉한 후 160일째이다.

25. 지수함수와 로그함수

정답 16

[eqn: 3(1-log_2 ``x)^2 -2(1-log_2 ``x)-4=0]에서

[eqn: 1-log_2 ``x =X]라 하면

[eqn: 3X^2 -2X-4=0]

[eqn: x]에 대한 방정식의 두 근이 [eqn: alpha], [eqn: beta]이므로 [eqn: X]에 대한 방정식의 두 근을 [eqn: 1-log_2 ``alpha], [eqn: 1-log_2 ``beta]이다.

근과 계수의 관계에 의해

[eqn: (1-log_2 ``alpha)+(1-log_2 ``beta )= 2 over 3]

[eqn: 2-log_2 ``alpha -log_2 ``beta = 2 over 3]

[eqn: log_2 ``alpha beta = 4 over 3]

∴ [eqn: alpha beta = 2^{4 over 3}]

∴ [eqn: alpha^3 beta^3 = (alpha beta`)^3]

[eqn: = left (2^{4 over 3} right )^3]

[eqn: =2^4 =16]

26. 수열

정답 101

[eqn: A= pmatrix { 3 & 1 # 1 & 3}]에서 [eqn: S_1 =8=2^3]

[eqn: A^2 = pmatrix { 3 & 1 # 1 & 3} pmatrix { 3 & 1 # 1 & 3}= pmatrix { 10 & 6 # 6 & 10}]에서 [eqn: S_2 =32=2^5]

[eqn: A^3 = pmatrix { 10 & 6 # 6 & 10} pmatrix { 3 & 1 # 1 & 3}= pmatrix { 36 & 28 # 28 & 36}]에서 [eqn: S_3 =128=2^7]

[eqn: A^4 = pmatrix { 36 & 28 # 28 & 36} pmatrix { 3 & 1 # 1 & 3}= pmatrix { 136 & 120 # 120 & 136}]에서 [eqn: S_4 =512=2^9]

[eqn: VDOTS]

[eqn: S_n =2^2n+1]이므로 [eqn: S_50 =2^101]

∴ [eqn: log _2 `S_50 = log _2 `2^101 =101]

27. 수열

정답 362

[eqn: a_1 = 1]

[eqn: a_2 =[a_1 ]+ 1 over 2 = 1+ 1 over 2 = 3 over 2]

[eqn: a_3 =[a_2 ]+ 2 over 2 = 1+ 1 = 2]

[eqn: a_4 =[a_3 ]+ 3 over 2 = 2+ 3 over 2 = 7 over 2]

[eqn: a_5 =[a_4 ]+ 4 over 2 = 3+ 2 = 5]

[eqn: a_6 =[a_5 ]+ 5 over 2 = 5+ 5 over 2 = 15 over 2]

[eqn: a_7 =[a_6 ]+ 6 over 2 = 7+ 3 = 10]

[eqn: VDOTS]

[eqn: a_2n-1 =1 + sum _{ k=1} ^{n-1 } (2k-1)]

∴ [eqn: a_39 =1 + sum _{ k=1} ^{19 } (2k-1)]

[eqn: =1 + 2 TIMES {19 TIMES 20} over 2 -19]

[eqn: =362]

28. 수열의 극한

정답 75

[eqn: {rm A}_n left ( n, ~ 1 over n right )], [eqn: {rm B}_n left ( n, ~ 1 over n+1 right )], [eqn: {rm A}_n+1 left ( n+1, ~ 1 over n+1 right )],

[eqn: {rm B}_n+1 left ( n+1, ~ 1 over n+2 right )]이므로

[eqn: bar { {rm A}_n {rm B}_n } = 1 over n - 1 over n+1 = 1 over n(n+1)]

[eqn: bar { {rm A}_n+1 {rm B}_n+1 } = 1 over n+1 - 1 over n+2 = 1 over {(n+1)(n+2)}]

[eqn: S_n = 1 over 2 left { 1 over {n(n+1)} + 1 over {(n+1)(n+2)} right }]

[eqn: = 1 over 2 left { 2n+2 over {n(n+1)(n+2)} right }]

[eqn: = 1 over 2 left { 2 over {n(n+2)} right }]

[eqn: = 1 over 2 left ( 1 over n - 1 over n+2 right )]

∴ [eqn: 100 sum _{ n=1} ^{ INF } S_n = 100 `lim _{ n->inf} sum _{ k=1} ^{ n } S_k]

[eqn: = 100 `lim _{ n->inf} sum _{ k=1} ^{ n } 1 over 2 left ( 1 over k - 1 over k+2 right )]

[eqn: = 50 `lim _{ n->inf} { left ( 1+ 1 over 2 - 1 over n+1 - 1 over n+2 right ) }]

[eqn: = 50 TIMES 3 over 2]

[eqn: = 75]

29. 순열과 조합

정답 288

각 행에서 1개씩 누르므로 0은 반드시 눌러야 한다.

나머지 1부터 9까지의 숫자 중에서 3개를 누르는 경우의 수는 다음과 같다.

(i) 1열에서 2개, 2열에서 0개, 3열에서 1개 누르는 경우

[eqn: rm (`_3 C_2 TIMES `_1 C_0 TIMES `_1 C_1 ) TIMES 4! = 3 TIMES 1 TIMES 1 TIMES 24 = 72]

(ii) 1열에서 1개, 2열에서 1개, 3열에서 1개 누르는 경우

[eqn: rm (`_3 C_1 TIMES `_2 C_1 TIMES `_1 C_1 ) TIMES 4! = 3 TIMES 2 TIMES 1 TIMES 24 = 144]

(iii) 1열에서 1개, 2열에서 0개, 3열에서 2개 누르는 경우

[eqn: rm (`_3 C_1 TIMES `_2 C_0 TIMES `_2 C_2 ) TIMES 4! = 3 TIMES 1 TIMES 1 TIMES 24 = 72]

(i), (ii), (iii)에서 [eqn: 72+144+72=288]

30. 지수와 로그

정답 22

[eqn: 2.52^10n = a×10^k (1≦a＜10], [eqn: k]는 자연수)이라 하자.

[eqn: a_n ＞1]이려면 최고자리의 숫자가 2 이상이어야 하므로

[eqn: 2.52^10n ≧2×10^k]을 만족하는 [eqn: n]의 최솟값을 구하면 된다.

[eqn: 2.52^10n ≧2×10^k]의 양변에 상용로그를 취하면

[eqn: 10n` log` 2.52 ≧log`2+k]

[eqn: 10n×0.4014≧k+0.3010]

[eqn: 4n+0.014n≧k+0.3010]

[eqn: k=4n], [eqn: 0.014n≧0.3010]

∴ [eqn: n ≧ 0.3010 over 0.014 =21.5]

따라서 자연수 [eqn: n]의 최솟값은 22이다.

2008 사관학교 시험 해설	수리 영역(자연)

수리 영역(이과)

1. ⑤	2. ①	3. ①	4. ③	5. ④

6. ③	7. ④	8. ②	9. ⑤	10. ⑤

11. ④	12. ②	13. ②	14. ④	15. ④

16. ②	17. ⑤	18. ②	19. ①	20. ⑤

21. ①	22. ③	23. ①	24. ③	25. 16

26. 21	27. 128	28. 299	29. 11	30. 22

1. 지수와 로그

정답 ⑤

[eqn: a^2 ·^5 root b =1]에서

[eqn: a^2 · b^{1 over 5} =1]

양변을 5제곱하면

[eqn: a^10 ·b=1]    ∴ [eqn: b=a^-10]

이 때, [eqn: ab=a·a^-10 =a^-9]이므로 주어진 식은

[eqn: log_a `` 1 over ab = log_a `` 1 over a^-9 = log_a ```a^9 =9]

2. 행렬

정답 ①

행렬 [eqn: ABA^-1]의 역행렬이 [eqn: A]이므로

[eqn: (ABA^-1 )A=E]

[eqn: AB=E]

즉, [eqn: A]의 역행렬이 [eqn: B]이므로

[eqn: B=A^-1 = 1 over -4+5 left( -2 atop 1 `` -5 atop 2 right) = left(-2 atop 1 `` -5 atop 2 right)]

따라서 행렬 [eqn: B]의 모든 성분의 합은

[eqn: -2+(-5)+1+2=-4]

3. 방정식과 부등식

정답 ①

[eqn: [x]^3 - 6[x]^2 +11[x]-6≧0]

⇔[eqn: ([x]-1)([x]-2)([x]-3)≧0]

⇔[eqn: 1≦[x]≦2] 또는 [eqn: [x]≧3]

[eqn: [x]]는 정수이므로

[eqn: [x]=1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], …

∴ [eqn: x≧1]

따라서 부등식을 만족시키는 모든 실수 [eqn: x]의 집합은

[eqn: left{ x`|`x≧1 right}]

4. 다항함수의 적분법

정답 ③

[eqn: f`(x+y)=f`(x)+f`(y)+xy(x+y)-3]에 [eqn: x=0], [eqn: y=0]을 대입하면

[eqn: f`(0)=f`(0)+f`(0)-3]

∴ [eqn: f`(0)=3]

[eqn: f``'(1) =lim from {h`→`0} {f`(1+h)-f`(1)} over h]

[eqn: =lim from {h`→`0} {f`(1)+f`(h)+h(1+h)-3 -f`(1)} over h]

[eqn: =lim from {h`→`0} {f`(h)-f`(0)} over h +lim from {h`→`0} (1+h)]

[eqn: =f`'(0)+1=2]

∴ [eqn: f``'(0)=1]

[eqn: f``'(x) =lim from {h`→`0} {f`(x+h)-f`(x)} over h]

[eqn: =lim from {h`→`0} {f`(x)+f`(h)+xh(x+h)-3-f`(x)} over h]

[eqn: =lim from {h`→`0} {f`(h)-f`(0)} over h +lim from {h`→`0} x(x+h)]

[eqn: =f`'(0)+x^2 =1+x^2]

∴ [eqn: f`(x)= 1 over 3 x^3 +x+C] ([eqn: C`]는 적분상수)

[eqn: f`(0)=C=3]이므로

[eqn: f`(x)= 1 over 3 x^3 +x+3]

∴ [eqn: f`(3)= 1 over 3 · 27+3+3=15]

5. 다항함수의 적분법

정답 ④

[eqn: int from {a_n} to {a_n+1} x^2 dx=14 left(1 over 3 right)^n-1]

[eqn: 1 over 3 (a_n+1`^3 -a_n `^3 ) =14 left(1 over 3 right)^n-1]

[eqn: a_n+1 `^3 -a_n `^3 =42 left( 1 over 3 right)^n-1]

[eqn: b_n = a_n `^3]이라 하면

[eqn: b_n+1 - b_n = 42 left( 1 over 3 right)^n-1]

∴ [eqn: a_n `^3 = b_n = b_1 + SUM from k=1 to n-1 42 left( 1 over 3 right)^n-1]

[eqn: = 1+ {42 left{ 1- left( 1 over 3 right)^n-1 right}} over {1- 1 over 3} ` (∵~b_1 =a_1 `^3 =1 )]

[eqn: = 1+ 63 left{ 1- left( 1 over 3 right)^n-1 right}}]

[eqn: = 64-63 left( 1 over 3 right)^n-1]

∴ [eqn: lim from {n`→`inf} a_n `^3 =lim from {n`→` inf} b_n =64]

∴ [eqn: lim from {n`→`inf} a_n =4]

6. 이차곡선

정답 ③

[eqn: rm bar{F' Q}=8]이고, [eqn: rm bar{F' Q} + bar{FQ} =14]이므로

[eqn: rm bar{FQ}=6]

[eqn: rm bar{OF} =root{100-75} =5]이므로 [eqn: rm bar{FF'} =10]

따라서 [eqn: △rm QF' F]는 [eqn: ∠rm Q=90°]인 직각삼각형이다.

[eqn: rm bar{FP} =it x]라 하면 [eqn: rm bar{F' P} + bar{FP} =20]이므로

[eqn: rm bar{PQ}= it 12-x]

[eqn: △rm PQF]에서 [eqn: x^2 =(12-x)^2 +6^2]

[eqn: 24x =180]

∴ [eqn: x= 15 over 2]

7. 벡터

정답 ④

ㄱ. 거짓

[eqn: rm bar{BD}]의 중점을 [eqn: rm M]이라 하면

[eqn: rm vec AB + vec AC =2 vec AM]

ㄴ. 참

[eqn: rm vec AB ∙ vec AD = |vec AB `||vec AD `|cos`30°][eqn: = root3 over 2 rm |vec AB `||vec AD `|]

[eqn: rm vec AC ∙ vec AE = |vec AC `||vec AE `|cos`60°][eqn: = 1 over 2 rm |vec AC `||vec AE `|]

이 때, [eqn: root 3 over 2 ＞ 1 over 2], [eqn: rm |vec AB `|`＞|vec AE `|], [eqn: rm |vec AD `|`＞|vec AC `|]이므로

[eqn: rm vec AB ∙ vec AD `＞ vec AC ∙ vec AE]

ㄷ. 참

[eqn: rm vec AB ∙ vec AC = |vec AB `||vec AC `|cos`60°]

[eqn: = 1 over 2 rm |vec AB `||vec AC `|]

[eqn: rm vec AD ∙ vec AE = |vec AD `||vec AE `|cos`90° =0]

∴ [eqn: rm vec AB ∙ vec AC `＞vec AD ∙ vec AE]

따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.

8. 다항함수의 적분법

정답 ②

[eqn: lim from {n`→` inf} A_n = SUM from k=1 to inf f` left( k-1 over n right) 1 over n = int from 0 to 1 `f`(x)dx]

[eqn: lim from {n`→` inf} B_n = SUM from k=1 to inf left{1-f` left( k over n right) right} 1 over n = int from 0 to 1 left{ 1-f`(x) right}dx]

ㄱ. 참

[eqn: lim from {n`→` inf} (A_n + B_n ) = lim from {n`→` inf} A_n +lim from {n`→` inf} B_n]

[eqn: = int from 0 to 1 f`(x)dx + int from 0 to 1 left{1-f`(x) right}dx]

[eqn: = int from 0 to 1 1`dx=1]

ㄴ. 참

[eqn: lim from {n`→` inf} B_n = int from 0 to 1 left{1-f`(x) right}dx = int from 0 to 1 (1-x^3 )dx]

[eqn: = left[x - 1 over 4 x^4 right]_0^1]

[eqn: =1- 1 over 4 = 3 over 4]

ㄷ. 거짓

[eqn: lim from {n`→` inf} A_n = int from 0 to 1 f`(x)dx = int from 0 to 1 x^3 dx = left[ 1 over 4 x^4 right]_0^1 = 1 over 4]

이므로

[eqn: lim from {n`→` inf} (A_n - B_n ) = lim from {n`→`inf} A_n - lim from {n`→`inf} B_n]

[eqn: = 1 over 4 - 3 over 4 = - 1 over 2]

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

9. 함수의 극한과 연속성

정답 ⑤

ㄱ. 거짓

[eqn: lim from {x`→`0} (f`∘f`)(x) = lim from {x`→`2+0} `f`(x)=3]

ㄴ. 참

[eqn: lim from {x`→`1-0} (f`∘f`)(x) = lim from {x`→`3-0} `f`(x)=2]

[eqn: lim from {x`→`2+0} (f`∘f`)(x) = lim from {x`→`3-0} `f`(x)=2]

∴[eqn: lim from {x`→`1-0} (f`∘f`)(x) = lim from {x`→`2+0}(f`∘f`)(x)=2]

ㄷ. 참

[eqn: (f`∘f`)(3) = f`(2)=3]이고

[eqn: lim from {x`→`3} (f`∘f`)(x) = lim from {x`→`2+0} `f`(x)=3]이므로

함수 [eqn: (f`∘f`)(x)]는 [eqn: x=3]에서 연속이다.

따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.

10. 다항함수의 미분법

정답 ⑤

삼차함수

[eqn: f`(x)=x^3 -3x]

[eqn: =x(x+root3 )(x-root 3 )]

의 그래프는 오른쪽 그림과 같으므로 [eqn: f`(a)≧`f`(b)]를 만족시키는 음의 실수 [eqn: b]의 최댓값은 오른쪽 그림에서 [eqn: M]의 값이다.

[eqn: f``'(x)=3x^2 -3=3(x+1)(x-1)]에서 함수 [eqn: f`(x)]는

[eqn: x=1]일 때 극소값 [eqn: f`(1)=1-3=-2]를 가지므로 [eqn: b]의 최댓값 [eqn: M]은 [eqn: f`(x)=-2]를 만족하는 [eqn: x]의 값 중 음수인 것이다.

즉, [eqn: x^3 -3x=-2]에서

[eqn: x^3 -3x+2=0], [eqn: (x+2)(x-1)^2 =0]

[eqn: x=-2] 또는 [eqn: x=1]이므로 [eqn: M=-2]

11. 다항함수의 적분법

정답 ④

[eqn: t`]분이 지난 순간 물탱크의 물의 부피를 [eqn: V`(t)]라 하면 (가)에서 [eqn: 0≦t≦20]일 때

[eqn: V`(t) = int from 0 to t (t+8)dt= 1 over 2 t^2 +8t rm (L/]분)

[eqn: 1 over 2 t^2 +8t =130]에서 [eqn: t^2 +16t-260=0]

[eqn: (t+26)(t-10)=0]

∴ [eqn: t=10]

따라서 물을 넣기 시작한지 [eqn: 10]분이 지난 순간 물의 부피가 [eqn: 130 rm L]이므로

(나)에서

[eqn: V`(t) = 130+ int from 0 to t (t+8)dt - 26(t-10)]

[eqn: =130+ left[ 1 over 2 t^2 +8t right]_10^t -26t+260]

[eqn: =130+ 1 over 2 t^2 +8t -(50+80)-26t+260]

[eqn: = 1 over 2 t^2 -18t+260]

[eqn: V(t) = 1 over 2 t^2 -18t +260 =100]에서

[eqn: t^2 -36t+320=0]

[eqn: (t-16)(t-20)=0]

∴ [eqn: t=16] 또는 [eqn: t=20]

따라서 물의 양이 두 번째로 [eqn: 100 rm L]가 될 때까지 걸리는 시간은 [eqn: 16]분이다. (∵ [eqn: 130 rm L]가 되기 전에 처음 [eqn: 100 rm L]가 되었다.)

12. 공간도형과 공간좌표

정답 ②

점 [eqn: rm O]에서 평면 [eqn: alpha]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm H], [eqn: rm bar AB]의 중점을 [eqn: rm M]이라 하면 [eqn: rm bar OM ⊥ bar AB]이고,

[eqn: rm bar OA = bar OB = bar AB =1]이므로

[eqn: rm bar OM = root3 over 2]

[eqn: rm bar OH = bar MH]이므로 [eqn: △ rm OHM]에서

[eqn: root 2 ·rm bar OH = root3 over 2]

∴ [eqn: rm bar OH = root6 over 4]

13. 공간도형과 공간좌표

정답 ②

평면 [eqn: rm OAB]와 평면 [eqn: rm ECD]가 평행하므로 평면 [eqn: rm OAB]와 평면 [eqn: rm ABCD]가 이루는 각의 크기는 [eqn: 180°- θ]이다.

한 모서리의 길이를 [eqn: a], 점 [eqn: rm O]에서 평면 [eqn: rm ABCD]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm H]라 하면

[eqn: △ rm HAB = 1 over 4 it a^2]

한편, [eqn: △ rm OAB = root3 over 4 it a^2]이고, [eqn: △ rm HAB]는 [eqn: △ rm OAB]의 정사영이므로

[eqn: 1 over 4 a^2 = root3 over 4 a^2 cos(180°-θ)]

[eqn: -cos θ = 1 over root3]

∴ [eqn: cos^2 ``θ = 1 over 3]

14. 순열과 조합

정답 ④

[eqn: a_n =]2nC2․2n-2C2․2n-4C2․…․2C2․[eqn: 1 over n!]이므로

[eqn: a_11 over a_10 = rm {`_22 C_2 ·_20 C_2 ․…․_2 C_2 · 1 over 11! `} over {`_20 C_2 ·_18 C_2 ․…․_2 C_2 · 1 over 10! `}]

=22C2․[eqn: 1 over 11 = 22·21 over 2·1 · 1 over 11 =21]

15. 수열

정답 ④

수열 [eqn: left{ root{a_n b_n `} right}]이 등차수열이므로 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: root{a_n `b_n `} + root{a_n+2 `b_n+2} = 2 root{a_n+1 ` b_n+1}=root{" "4a_n+1 `b_n+1}]

……………………………………… ㉠

또, 두 수열 [eqn: left{ a_n right}], [eqn: left{ b_n right}]이 등차수열이므로

[eqn: a_n +a_n+2 =2 a_n+1]  ………………………………………… ㉡

[eqn: b_n +b_n+2 =2 b_n+1] …………………………………………… ㉢

㉡, ㉢을 ㉠에 대입한 후, 양변을 제곱하여 정리하면

[eqn: 2root {a_n `b_n `a_n+2 `b_n+2 } =a_n `b_n+2 + a_n+2 `b_n]

다시 위 식의 양변을 제곱하여 정리하면

[eqn: 4a_n `b_n `a_n+2 ` b_n+2 = a_n`^2 b_n+2`^2 +2a_n `b_n `a_n+2 `b_n+2][eqn: +a_n+2`^2 b_n`^2]

[eqn: a_n`^2 `b_n+2`^2 - 2 a_n `b_n `a_n+2 `b_n+2 +a_n+2`^2 b_n`^2 =0]

[eqn: (a_n `b_n+2 - a_n+2 `b_n )^2 =0]

[eqn: a_n+2` b_n = ``a_n ` b_n+2 `]

∴ [eqn: b_n over a_n = b_n+2 over a_n+2 = `b_n+1 over a_n+1]

16. 확률변수와 통계적 추정

정답 ②

(가)에서 [eqn: σ＞1]이므로 위쪽에 있는 곡선이 [eqn: y=g(x)], 아래쪽에 있는 곡선이 [eqn: y=f`(x)]이다.

두 곡선으로 둘러싸인 부분의 넓이가 [eqn: 0.096]이므로

P [eqn: {rm P}(-1.5≦Z≦1.5)] [eqn: - {rm P}(-1.5≦X≦1.5)=0.096]

확률변수 [eqn: X]가 정규분포 N(0, [eqn: σ^2])을 따르므로

P [eqn: (-1.5≦Z≦1.5)-]P [eqn: left( -1.5 over σ ≦Z≦ 1.5 over σ right)=0.096]

P [eqn: (0≦Z≦1.5)-]P [eqn: left( 0 ≦Z≦ 1.5 over σ right)=0.048]

P [eqn: (0≦Z≦1.5)=0.433]이므로

P [eqn: left( 0 ≦Z≦ 1.5 over σ right)=0.433-0.048=0.385]

∴ [eqn: 1.5 over σ =1.2]

∴ [eqn: σ = 1.5 over 1.2 =1.25]

17. 수열의 극한

정답 ⑤

[eqn: a_n = left( 1 over 2 right)^n-1]이므로

[eqn: S_n = SUM from k=1 to n a_k = SUM from k=1 to n left(1 over 2 right)^k-1 = {1-left(1 over 2 right)^n} over {1- 1 over 2}]

[eqn: = 2 left{1- left(1 over 2 right)^n right}]

[eqn: T_n = SUM from k=n to inf a_k = SUM from k=n to inf left(1 over 2 right)^k-1]

[eqn: = SUM from k=1 to inf left(1 over 2 right)^k-1 -SUM from k=1 to n-1 left(1 over 2 right)^k-1]

[eqn: = 1 over {1- 1 over 2 } - 2 left{1- left(1 over 2 right)^n-1 right}]

[eqn: = 2-2+2left(1 over 2 right)^n-1 =2 left(1 over 2 right)^n-1]

ㄱ. 참

[eqn: a_n + S_n = left( 1 over 2 right)^n-1 +2 left{1-left(1 over 2 right)^n right}]

[eqn: = left( 1 over 2 right)^n-1 +2- left(1 over 2 right)^n-1 =2]

ㄴ. 참

[eqn: T_n =2 left( 1 over 2 right)^n-1 = left(1 over 2 right)^n-2 = a_n-1]

ㄷ. 참

[eqn: S_n +T_n =2 left{1- left(1 over 2 right)^n right} +2 left(1 over 2 right)^n-1]

[eqn: =2- left(1 over 2 right)^n-1 +2 left(1 over 2 right)^n-1]

[eqn: =2 + left(1 over 2 right)^n-1]

이므로 [eqn: lim from {n`→`inf}(S_n + T_n ) =2]

[eqn: SUM from k=1 to inf a_k = SUM from k=1 to inf left(1 over 2 right)^k-1 = 1 over {1- 1 over 2} =2]

∴ [eqn: lim from {n`→`inf}(S_n + T_n ) = SUM from k=1 to inf a_k]

따라서 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다.

18. 확률변수와 통계적 추정

정답 ②

포도송이의 무게를 확률변수 [eqn: X]라 하면 [eqn: X]는 정규분포 [eqn: rm N(600], [eqn: 100^2 )]을 따른다.

포도송이의 무게가 [eqn: 636 rm g] 이상일 확률은

P [eqn: (X≧636)=]P [eqn: left ( Z≧ 36 over 100 right)=]P [eqn: ( Z≧ 0.36)]

[eqn: = 0.5-]P [eqn: (0≦Z≦ 0.36)]

[eqn: = 0.5-0.14=0.36]

따라서 임의 추출된 100송이 중 [eqn: 636 rm g] 이상인 포도송이의 개수 [eqn: Y]는 이항분포 B(100, 0.36)을 따른다.

∴ E [eqn: (Y)=100×0.36=36]

V [eqn: (Y)=100×0.36×0.64=(4.8)^2]

따라서 확률변수 [eqn: Y]는 정규분포 N(36, [eqn: (4.8)^2])을 따르므로 구하는 확률은

P [eqn: (Y≧42)=]P [eqn: left (Z≧ 6 over 4.8 right)]

[eqn: =]P [eqn: (Z≧1.25)]

[eqn: =0.5-]P [eqn: (0≦Z≦1.25)]

[eqn: =0.5-0.39=0.11]

19. 지수함수와 로그함수

정답 ①

[eqn: log_2 ``n =- log_2 ``x]에서 [eqn: x= 1 over n]이므로

[eqn: {rm C}_n left(1 over n ,``log_2 ``n right)]

또, [eqn: {rm A}_n (n,``log_2``n )], [eqn: {rm B}_n (n,``-log_2``n )], D(1, 0)이므로

[eqn: S_n = 1 over 2 ·2`log_2 ``n ·(n-1)]

[eqn: = (n-1)log_2 ``n]

[eqn: T_n = 1 over 2 · left(n- 1 over n right) ·log_2 ``n]

[eqn: = 1 over 2 left(n- 1 over n right) log_2 ``n]

∴ [eqn: lim from {n`→` inf} T_n over S_n = lim from {n`→` inf} {1 over 2 left(n- 1 over n right) log_2 ``n} over {(n-1)log_2 ``n}]

[eqn: = lim from {n`→` inf} {n- 1 over n } over {2(n-1)}]

[eqn: = lim from {n`→` inf} {1- 1 over n^2 } over {2 left( 1- 1 over n right)}]

[eqn: = 1 over 2]

20. 수열

정답 ⑤

위의 표에서 대각선을 기준으로 위쪽에 있는 수와 아래쪽에 있는 수를 나누어 생각하면 위쪽에 있는 수들의 합은

[eqn: 1·3+2·5+3·7+…+9·19= SUM from k=1 to 9 k(2k+1)]

아래쪽에 있는 수들의 합은

[eqn: 1·2+2·4+3·6+…+10·20= SUM from k=1 to 10 k·2k]

따라서 구하는 자연수의 합은

[eqn: SUM from k=1 to 9 k(2k+1) + SUM from k=1 to 10 k·2k]

[eqn: = SUM from k=1 to 9 (2k^2 +k) + SUM from k=1 to 10 2k^2]

[eqn: = 2· 9·10·19 over 6 + 9·10 over 2 + 2· 10·11·21 over 6]

[eqn: = 570+45+770=1385]

21. 수열의 극한

정답 ①

밑면인 원의 둘레의 길이는 [eqn: 50 pi]이므로 옆면인 부채꼴의 중심각의 크기를 [eqn: x]라 하면

[eqn: 200 pi · x over 360° =50pi]

∴ [eqn: x=90°]

[eqn: {rm AP}_k][eqn: = 100 over n ·k]이고, 점 [eqn: {rm P}_k]에서 원뿔의 옆면을 한 바퀴 돌아서 점 [eqn: {rm P}_k]로 되돌아오는 최단 경로는 오른쪽 그림의 [eqn: bar {{rm P}_k {rm Q}_k }]와 같으므로

[eqn: l_k =root2 · 100 over n ·k][eqn: = {100root2 k} over n]

∴ [eqn: S_n = SUM from k=1 to n l_k = SUM from k=1 to n {100root2 k} over n]

[eqn: = {100root2 } over n · n(n+1) over 2 = 50root2 (n+1)]

∴ [eqn: lim from {n`→`inf} S_n over n = lim from {n`→`inf} {50root2 (n+1)} over n = 50 root2]

22. 확률

정답 ③

동전을 5번 던질 때, 점 P가 지나간 자취와 직선 [eqn: y= 3 over 2]이 오직 한 점에서 만나려면 다음 그림의 1 경우를 제외하고 뒷면이 한 번 이하로 나와야 한다.

뒷면이 1번, 앞면이 4번 나오는 경우는 5가지, 앞면이 5번 나오는 경우는 1가지이므로 구하는 확률은

[eqn: 5+1-1 over 2^5 = 5 over 32]

23. 경우의 수

정답 ①

5개의 돌 중에서 3개를 뽑는 경우의 수는

5C3[eqn: = 5·4 over 2·1 =10]

(i) 가운데 원에 돌을 놓는 경우

가운데 원에 놓을 돌을 뽑는 경우의 수는 3C1이고, 나머지 4개의 원 중 2개의 원에 돌을 놓는 방법의 수는 이웃하게 놓는 2가지와 이웃하지 않게 놓는 1가지가 있으므로

3C1×(2+1)=9

(ii) 가운데 원에 돌을 놓지 않는 경우

나머지 4개의 원 중 3개의 원에 돌을 놓으면 되므로

3!=6

(i), (ii)에서 구하는 경우의 수는

10(9+6)=150

24. 지수와 로그

정답 ③

[eqn: f`(50)=a(1-b^50 )=400] ……………………………… ㉠

[eqn: f`(100)=a(1-b^100 )=640] …………………………… ㉡

㉡÷㉠을 하면

[eqn: {a(1-b^100 )} over {a(1-b^50 )} = 640 over 400]

[eqn: {(1-b^50 )(1+b^50 )} over {1-b^50 } = 1.6]

[eqn: 1+b^50 =1.6]

∴ [eqn: b^50 =0.6]

㉠에 대입하면

[eqn: a(1-0.6)=400]

∴ [eqn: a=1000]

∴ [eqn: f`(n)=1000 (1- 0.6^{n over 50} ) (∵``b=0.6^{1 over 50} )]

[eqn: 1000(1-0.6^{n over 50} )≧800]에서

[eqn: 1-0.6^{n over 50} ≧0.8]

[eqn: 0.6^{n over 50} ≦0.2]

양변에 상용로그를 취하면

[eqn: n over 50 {rm log} 6 over 10 ≦ log 2 over 10]

[eqn: n over 50 (log 2+log`3-1) ≦ log 2-1]

[eqn: -0.22 · n over 50 ≦-0.70]

[eqn: n ≧159.…]

따라서 총 흥행 수입이 처음으로 800억을 넘어서는 날을 개봉한 후 160일째이다.

25. 지수함수와 로그함수

정답 16

[eqn: 3(1-log_2 ``x)^2 -2(1-log_2 ``x)-4=0]에서

[eqn: 1-log_2 ``x =X]라 하면

[eqn: 3X^2 -2X-4=0]

[eqn: x]에 대한 방정식의 두 근이 [eqn: alpha], [eqn: beta]이므로 [eqn: X]에 대한 방정식의 두 근을 [eqn: 1-log_2 ``alpha], [eqn: 1-log_2 ``beta]이다.

근과 계수의 관계에 의해

[eqn: (1-log_2 ``alpha)+(1-log_2 ``beta )= 2 over 3]

[eqn: 2-log_2 ``alpha -log_2 ``beta = 2 over 3]

[eqn: log_2 ``alpha beta = 4 over 3]

∴ [eqn: alpha beta = 2^{4 over 3}]

∴ [eqn: alpha^3 beta^3 = (alpha beta`)^3]

[eqn: = left (2^{4 over 3} right )^3]

[eqn: =2^4 =16]

26. 함수의 극한과 연속성

정답 21

[eqn: lim from {x`→`2} {4f`(x)-40g(x)} over {2f`(x)-g(x)} = lim from {x`→`2} {2left{2f`(x)+g(x) right} -42g(x)} over {2f`(x)+g(x)-2g(x)}]

[eqn: = lim from {x`→`2} {{2left{2f`(x)+g(x) right}} over {g(x)} -42} over {{2f`(x)+g(x)} over {g(x)} -2}]

[eqn: = -42 over -2]

[eqn: =21]

27. 이차곡선

정답 128

두 포물선은 위의 그림과 같으므로 포물선의 방정식은

[eqn: y^2 =8(x-2)], [eqn: y^2 =-8(x+2)]

두 포물선에 동시에 접하는 직선은 원점을 지나므로 [eqn: y=mx]라 하면 [eqn: (mx)^2 =8(x-2)]는 중근을 갖는다.

즉, [eqn: m^2 `x^2 -8x+16=0]에서

[eqn: D over 4 =16-16m^2 =16(1-m)(1+m)=0]

∴ [eqn: m=1 (∵``m＞0)]

따라서 직선의 방정식은 [eqn: y=x]이므로

[eqn: x^2 =8(x-2)]에서

[eqn: x^2 -8x+16=0], [eqn: (x-4)^2 =0]

∴ [eqn: x=4]

따라서 접점의 좌표는 (4, 4), (-4, -4)이므로

[eqn: d^2 =left{4-(-4)right}^2 + left{4-(-4)right}^2 =128]

28. 공간도형과 공간좌표

정답 299

[eqn: rm vec OA], [eqn: rm vec OP]가 이루는 각을 [eqn: θ]라 하면 [eqn: rm vec OA · vec OP = |vec OA `||vec OP `|cosθ]이고, [eqn: rm |vec OP `|cosθ]는 [eqn: rm vec OP]의 [eqn: xy]평면 위로의 정사영의 길이이므로 점 P가 오른쪽 그림과 같이 구의 중심을 지나고 [eqn: xy]평면에 평행한 직선이 구와 만나는 점 중 원점으로부터 더 멀리 있는 점일 때 최대가 된다.

따라서 [eqn: rm |vec OP `| cos θ]의 최댓값은 [eqn: rm |vec OA `| +10]이고,

[eqn: rm |vec OA `|=root {5^2 +12^2} =13]이므로 [eqn: rm vec OA ·vec OP]의 최댓값은

[eqn: rm |vec OA `| ·(|vec OA `|+10)=13(13+10)=299]

29. 벡터

정답 11

원 [eqn: x^2 +(z-1)^2 =1] 위의 점을 ([eqn: a], 0, [eqn: c])라 하면

[eqn: a^2 +(c-1)^2 =1] ………………………………………… ㉠

직선 [eqn: rm AP]의 방정식은

[eqn: x over a = y+1 over 1 = z-2 over c-2] …………………………………… ㉡

점 [eqn: rm Q]의 좌표를 ([eqn: x_1], [eqn: y_1], 0)이라 하면 점 [eqn: rm Q]는 직선 [eqn: rm AP] 위의 점이므로

[eqn: x_1 over a = y_1 +1 = -2 over c-2]

[eqn: x_1 over a = y_1 +1]에서 [eqn: a= x_1 over {y_1 +1}]

[eqn: y_1 +1 = -2 over c-2]에서 [eqn: c= -2 over {y_1 +1} +2 = {2y_1} over {y_1 +1}]

구한 [eqn: a], [eqn: c]를 ㉠에 대입하면

[eqn: left(x_1 over {y_1 +1} right)^2 +left(2y_1 over {y_1 +1} -1right)^2 =1]

[eqn: {x_1`^2} over {y_1`^2 +2y_1 +1} +{y_1`^2 -2y_1 +1} over {y_1`^2 +2y_1 +1} =1]

[eqn: x_1`^2 +y_1`^2 -2y_1 +1=y_1 `^2 +2y_1 +1]

[eqn: x_1`^2 =4y_1]

즉, [eqn: y_1 = 1 over 4 x_1 `^2]이므로 점 [eqn: rm Q]의 자취는 포물선 [eqn: y= 1 over 4 x^2]의 일부와 그 내부이다. P(1, 0, 1)일 때 ㉡에서

[eqn: 1 over a =1= -1 over c-2]

∴ [eqn: a=1], [eqn: c=1]

따라서 직선 [eqn: rm AP]의 방정식은

[eqn: x= y+1 = z-2 over -1]

점 [eqn: rm Q]의 좌표는 [eqn: z=0]일 때 [eqn: x=2], [eqn: y=1]이므로 (2, 1, 0)

마찬가지로 P([eqn: -]1, 0, 1)일 때 점 [eqn: rm Q]의 좌표는 ([eqn: -]2, 1, 0)이므로 구하는 넓이는 오른쪽 그림의 어두운 부분이다.

곡선과 [eqn: x]축 사이의 넓이는

[eqn: int from -2 to 2 1 over 4 x^2 dx =2 int from 0 to 2 1 over 4 x^2 dx]

[eqn: =2 left[ 1 over 12 x^3 right]_0^2]

[eqn: =2 · 1 over 12 ·8 = 4 over 3]

이므로 구하는 넓이는

[eqn: 4×1- 4 over 3 = 8 over 3]

∴ [eqn: a+b=3+8=11]

30. 지수와 로그

정답 22

[eqn: 2.52^10n = a×10^k (1≦a＜10], [eqn: k]는 자연수)이라 하자.

[eqn: a_n ＞1]이려면 최고자리의 숫자가 2 이상이어야 하므로

[eqn: 2.52^10n ≧2×10^k]을 만족하는 [eqn: n]의 최솟값을 구하면 된다.

[eqn: 2.52^10n ≧2×10^k]의 양변에 상용로그를 취하면

[eqn: 10n` log` 2.52 ≧log`2+k]

[eqn: 10n×0.4014≧k+0.3010]

[eqn: 4n+0.014n≧k+0.3010]

[eqn: k=4n], [eqn: 0.014n≧0.3010]

∴ [eqn: n ≧ 0.3010 over 0.014 =21.5]

따라서 자연수 [eqn: n]의 최솟값은 22이다.