• 2교시 수학 영역 •

[나형]

1	③	2	④	3	⑤	4	③	5	⑤
6	②	7	④	8	③	9	①	10	④
11	①	12	②	13	③	14	⑤	15	③
16	①	17	⑤	18	①	19	②	20	④
21	⑤	22	8	23	9	24	12	25	7
26	11	27	128	28	2	29	32	30	253

1. [출제의도] 지수법칙을 이용하여 계산하기

[eqn: 5 ^{3} TIMES 5 ^{-2} =5 ^{3-2} =5 ^{1} =5]

2. [출제의도] 미분계수 계산하기

[eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) =4x ^{3}]이므로 [eqn: f` prime LEFT ( 1 RIGHT ) =4]

3. [출제의도] 등비수열의 극한 이해하기

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {{5 TIMES 4 ^{n}} over {4 ^{n} +1}} = lim _{n` -> ` INF } {{5} over {1+ LEFT ( {1} over {4} RIGHT ) ^{n}}} = {5} over {1+0} =5]

4. [출제의도] 차집합 이해하기

[eqn: A-B= LEFT { `3,``4 RIGHT }]

따라서 모든 원소의 합은 [eqn: 7]

5. [출제의도] 역함수 이해하기

[eqn: f ^{`-1} LEFT ( 0 RIGHT ) =a]라 하면 [eqn: f LEFT ( a RIGHT ) =0]이므로 [eqn: a-2=0]

따라서 [eqn: a=2]

6. [출제의도] 집합 사이의 포함관계 추론하기

[eqn: LEFT { `3,``4,``5 RIGHT } SMALLINTER A= EMPTYSET]이므로
집합 [eqn: A]는 집합 [eqn: LEFT { `1,``2 RIGHT }]의 부분집합이다.

따라서 모든 집합 [eqn: A]의 개수는 [eqn: 2^2 = 4]

7. [출제의도] 진리집합의 포함관계 추론하기

두 조건 [eqn: p], [eqn: q]의 진리집합을 각각 [eqn: P], [eqn: Q`]라 하면

[eqn: P= LEFT { ` sqrt {a} ,``- sqrt {a} RIGHT }], [eqn: Q= LEFT { 2 RIGHT }]

[eqn: p]가 [eqn: q]이기 위한 필요조건이 되려면 [eqn: P SUPERSET Q`]이어야
하므로 [eqn: sqrt {a} =2]

따라서 [eqn: a=4]

8. [출제의도] 미분계수 이해하기

[eqn: lim _{h` -> `0} {{f LEFT ( 2+h RIGHT ) -f LEFT ( 2 RIGHT )} over {3h}}][eqn: = {1} over {3} times lim _{h` -> `0} {{f LEFT ( 2+h RIGHT ) -f LEFT ( 2 RIGHT )} over {h}}]
[eqn: = {1} over {3} times`f` prime LEFT ( 2 RIGHT ) =5]

따라서 [eqn: f` prime LEFT ( 2 RIGHT ) =15]

9. [출제의도] 절대부등식 이해하기

[eqn: 4x+ {a} over {x}][eqn: GEQ 2 sqrt {4x` TIMES ` {a} over {x}}]
[eqn: =2 sqrt {4a} =2]

(단, 등호는 [eqn: 4x= {a} over {x}]일 때 성립한다.)

따라서 [eqn: a= 1over4]

10. [출제의도] 급수와 일반항의 관계 이해하기

급수 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } LEFT ( a _{n} - {2n} over {3n+1} RIGHT )]이 수렴하므로

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {LEFT ( a _{n} - {2n} over {3n+1} RIGHT ) =0}]이다.

따라서 [eqn: lim _{n` -> ` INF } {a _{n}} = {2} over {3}]

11. [출제의도] 합성함수 이해하기

[eqn: g LEFT ( 1 RIGHT ) =1]이므로 [eqn: f LEFT ( g LEFT ( 1 RIGHT ) RIGHT ) =f LEFT ( 1 RIGHT ) =2]

[eqn: f LEFT ( 3 RIGHT ) =1]이므로 [eqn: g LEFT ( f LEFT ( 3 RIGHT ) RIGHT ) =g LEFT ( 1 RIGHT ) =1]

따라서 [eqn: LEFT ( f CIRC g RIGHT ) LEFT ( 1 RIGHT ) + LEFT ( g CIRC f RIGHT ) LEFT ( 3 RIGHT ) =3]

12. [출제의도] 도함수를 활용하여 문제해결하기

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} -6x ^{2} +9x+1]에서

[eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) =3x ^{2} -12x+9=3 LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x-3 RIGHT )]

[eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) =0]에서 [eqn: x=1] 또는 [eqn: x=3]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 증가와 감소를 표로 나타내면

다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: CDOTS]	[eqn: 1]	[eqn: CDOTS]	[eqn: 3]	[eqn: CDOTS]
[eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT )]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: f LEFT ( x RIGHT )]	[eqn: NEARROW]	[eqn: 5]	[eqn: SEARROW]	[eqn: 1]	[eqn: NEARROW]

[eqn: THEREFORE] [eqn: alpha =1], [eqn: M=f LEFT ( 1 RIGHT ) =5]

따라서 [eqn: alpha +M=6]

13. [출제의도] 유리함수의 그래프 이해하기

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {3x+1} over {x-k} = {3k+1} over {x-k} +3]의 그래프의
두 점근선의 방정식은 [eqn: x=k], [eqn: y=3]이고

두 점근선의 교점 [eqn: LEFT ( `k,``3 RIGHT )]은 직선 [eqn: y=x] 위의 점이다.

따라서 [eqn: k=3]

14. [출제의도] 등차중항 이해하기

등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 공차를 [eqn: d]라 하면

[eqn: a _{6} -a _{2} =4d]이고 [eqn: a _{4} =a _{1} +3d]이므로 [eqn: a _{1} =d] [eqn: cdots`㉠]

[eqn: a _{1} +a _{3} =2a _{2}]이므로 [eqn: a _{2} =a _{1} +d=10] [eqn: CDOTS `㉡]

[eqn: ㉠], [eqn: ㉡]에 의하여 [eqn: a _{1} =d=5]

[eqn: ∴] [eqn: a _{n} =5+ LEFT ( n-1 RIGHT ) times5=5n]

따라서 [eqn: a _{10} =50]

15. [출제의도] 함수의 극한 이해하기

[eqn: lim _{x` -> `0-} {f LEFT ( x RIGHT )} =2], [eqn: lim _{x` -> `0+} {f LEFT ( x RIGHT )} =0]이므로

부등식 [eqn: lim _{x` -> `a-} {f LEFT ( x RIGHT )} > lim _{x` -> `a+} {f LEFT ( x RIGHT )}]를 만족시키는
[eqn: a]의 값은 [eqn: 0]

16. [출제의도] 도함수를 활용하여 문제해결하기

점 [eqn: rmP]의 시각 [eqn: t]에서의 위치가 [eqn: x= it -t ^{2} +6t]이므로

속도는 [eqn: {dx} over {dt} = it -2t+6]

[eqn: -2t+6=2]에서 [eqn: t=2]

따라서 [eqn: t=2]에서의 점 [eqn: rmP]의 위치는 [eqn: 8]

17. [출제의도] 수열의 합 이해하기

[eqn: sum _{k=1} ^{m} LEFT ( a _{k} +3 RIGHT ) ^{2}][eqn: = sum _{k=1} ^{m} LEFT ( a _{k}^{````2} +6a _{k} +9 RIGHT )]
[eqn: = sum _{k=1} ^{m} a _{k}^{````2} +6 sum _{k=1} ^{m} a _{k} + sum _{k=1} ^{m} 9]
[eqn: =3-6+9m=60]

따라서 [eqn: m=7]

18. [출제의도] 로그의 성질 추론하기

자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: log _{n+1} LEFT ( n+2 RIGHT ) = {` {BOX{````` ^{` ^{` ^{`}}} log _{2} LEFT ( n+2 RIGHT ) _{` _{` _{`}}} ````}}} over {log _{2} LEFT ( n+1 RIGHT )}]이므로

[eqn: sum _{k=1} ^{14} log _{2} LEFT { log _{k+1} LEFT ( k+2 RIGHT ) RIGHT }]

[eqn: = log_2 left( {log_2 3}over {log_2 2}right) + log_2 left( {log_2 4}over {log_2 3}right) + `CDOTS` + log_2 left( {log_2 16}over {log_2 15}right)]

[eqn: = log_2 left( {log_2 3}over {log_2 2} times {log_2 4}over {log_2 3}times `CDOTS` times {log_2 16}over {log_2 15}right)]

[eqn: =log _{2} ` LEFT ( {` LEFT . {BOX{```` ^{` ^{` ^{`}}} log _{2} 16 _{` _{` _{`}}} ```}} `` RIGHT .} over {log _{2} 2} RIGHT ) =log _{2} 4= {BOX{``` ^{` ^{` ^{`}}} 2 _{` _{` _{`}}} ```}}]

[eqn: ∴] [eqn: f LEFT ( n RIGHT ) =log _{2} LEFT ( n+2 RIGHT )], [eqn: p=4], [eqn: q=2]

따라서 [eqn: f LEFT ( p+q RIGHT ) =log _{2} 8=3]

19. [출제의도] 수열의 귀납적 정의 추론하기

[eqn: a _{n+1} +a _{n} =2n ^{2}]에서
[eqn: n=1]일 때, [eqn: a _{2} +a _{1} =2 TIMES 1 ^{2}]이므로

[eqn: a _{2} =2-a _{1}]
[eqn: n=2]일 때, [eqn: a _{3} +a _{2} =2 TIMES 2 ^{2}]이므로
[eqn: a _{3} =8-a _{2} =6+a _{1}]
[eqn: n=3]일 때, [eqn: a _{4} +a _{3} =2 TIMES 3 ^{2}]이므로
[eqn: a _{4} =18-a _{3} =12-a _{1}]
[eqn: n=4]일 때, [eqn: a _{5} +a _{4} =2 TIMES 4 ^{2}]이므로
[eqn: a _{5} =32-a _{4} =20+a _{1}]
[eqn: a _{3} +a _{5} =26+2a _{1} =26]이므로 [eqn: a _{1} =0]
따라서 [eqn: a _{2} =2-a _{1} =2]

20. [출제의도] 등비급수를 활용하여 문제해결하기

그림 [eqn: R_1]에서

[eqn: rmA]

[eqn: rm B _{1}]

[eqn: rm D _{1}]

[eqn: rm C _{2}]

[eqn: rm C _{1}]

[eqn: rm H]

선분 [eqn: RMC _{1} C _{2}]와 선분 [eqn: RMB _{1} D _{1}]이 만나는 점을 [eqn: rmH]라 하자.

[eqn: {bar{RMB _{1} D _{1}}} =2 sqrt {2}]

[eqn: {bar{rm HC _{2} it}}][eqn: = {bar{rm C _{1} C _{2} it}} - {bar{rm C _{1} H it}}]
[eqn: =2- sqrt {2}]

이므로

[eqn: S _{1}][eqn: = {1} over {2} TIMES {bar{rm B _{1} D _{1} it}} TIMES {bar{rm HC _{2} it}}]
[eqn: = {1} over {2} TIMES 2 sqrt {2} TIMES LEFT ( 2- sqrt {2} RIGHT )]
[eqn: =2 sqrt {2} -2]

다음은 그림 [eqn: R_n+1]의 일부이다.

[eqn: rmA]

[eqn: rm B _{itn}]

[eqn: rm C _{itn}]

[eqn: rm D _{itn}]

[eqn: rm D _{itn+1}]

[eqn: rm B _{itn+1}]

[eqn: rm C _{itn+1}]

[eqn: {bar{rm A it rm rm C it rm _{it n+1} it}}][eqn: = {bar{rm AC _{it n rm} it}} - {bar{rm C _{it n+1 rm} C _{it n rm} it}}]
[eqn: = {bar{rm AC _{it n rm} it}} - {bar{rm B _{it n rm} C _{it n rm} it}}]
[eqn: = {bar{rm AC _{it n rm} it}} - {sqrt {2}} over {2} TIMES {bar{rm AC _{it n rm} it}}]
[eqn: = {2- sqrt {2}} over {2} {bar{rm AC it rm _{itn} }}]

이고 [eqn: {bar{rm A it rm C it rm _{it n} it}} = {bar{rm B _{it n rm} it rm D it rm _{it n} it}}]이므로

[eqn: {bar{rm AC _{it n rm} it}} : {bar{rm AC _{it n+1 rm} it}} = {bar{rm B _{it n rm} D _{it n rm} it}} : {bar{rm B _{it n+1 rm} D _{it n+1 rm} it}} =1: {2- sqrt {2}} over {2}]

그러므로 그림 [eqn: R _{n}]과 [eqn: R _{n+1}]에서 새로 얻어진
두 삼각형은 서로 닮음이고
닮음비가 [eqn: 1: {2- sqrt {2}} over {2}]이므로
넓이의 비는 [eqn: 1: {3-2 sqrt {2}} over {2}]이다.

그러므로 수열 [eqn: LEFT { S _{n} RIGHT }]은

첫째항이 [eqn: 2 sqrt {2} -2]이고 공비가 [eqn: {3-2 sqrt {2}} over {2}]인
등비수열의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합이다.

따라서 [eqn: lim _{n` -> ` INF } {S _{n}} = {2 sqrt {2} -2} over {1- {3-2 sqrt {2}} over {2}} = {12-4 sqrt {2}} over {7}]

21. [출제의도] 함수의 연속 추론하기

ㄱ. 집합 [eqn: LEFT . LEFT { {}^{`} (`x,``y) RIGHT | `y=x` `RIGHT .]또는[eqn: `` it y= x {}^{2} RIGHT }]이 나타내는
도형과 직선 [eqn: x+y=0]을 좌표평면에 나타내면
그림과 같다.

[eqn: x ^{2} =it-x]에서 [eqn: x=0] 또는 [eqn: x=it-1]
[eqn: ∴] [eqn: a=0]일 때, [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =2]이다. (참)

[eqn: y]

[eqn: 1]

[eqn: 1]

[eqn: x]

[eqn: rmO]

[eqn: -1]

[eqn: y=x]

[eqn: y=x ^{2}]

[eqn: y=it-x]

ㄴ. [eqn: x+y=it- {1} over {4}]과 [eqn: y= LEFT ( x-a RIGHT ) ^{2} -a]를 연립하여
정리하면 [eqn: x ^{2} - LEFT ( 2a-1 RIGHT ) x+a ^{2} -a+ {1} over {4} =0]이다.
이 이차방정식의 판별식을 [eqn: D _{1}]이라 하면
[eqn: D _{1} = LEFT ( 2a-1 RIGHT ) ^{2} -4 LEFT ( a ^{2} -a+ {1} over {4} RIGHT ) =0]이므로
직선 [eqn: x+y= it - {1} over {4}]과 곡선 [eqn: y= LEFT ( x-a RIGHT ) ^{2} -a]는
한 점에서 만난다.

[eqn: lim _{t` -> `- {1} over {4} -} {f LEFT ( t RIGHT )} =1], [eqn: lim _{t` -> `- {1} over {4} +} {f LEFT ( t RIGHT )} =3]이므로
[eqn: f LEFT ( t RIGHT )]는 [eqn: t=it- {1} over {4}]에서 불연속이다. (참)

[eqn: x]

[eqn: y= LEFT ( x-a RIGHT ) ^{2} -a]

[eqn: y=x]

[eqn: y]

[eqn: rmO]

[eqn: y=it-x- {1} over {4}]

ㄷ.

(ⅰ) 곡선 [eqn: y= LEFT ( x-a RIGHT ) ^{2} -a]와 직선 [eqn: y=x]가
만나는 점의 개수가 [eqn: 0]인 경우

함수 [eqn: f LEFT ( t RIGHT )]의 불연속인 점의 개수가 [eqn: 1]이다.

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rmO]

[eqn: y= LEFT ( x-a RIGHT ) ^{2} -a]

[eqn: y=x]

[eqn: t>- {1} over {4}]

[eqn: t=it- {1} over {4}]

[eqn: t< it - {1} over {4}]

(ⅱ) 곡선 [eqn: y= LEFT ( x-a RIGHT ) ^{2} -a]와 직선 [eqn: y=x]가
만나는 점의 개수가 [eqn: 1]인 경우

함수 [eqn: f LEFT ( t RIGHT )]의 불연속인 점의 개수가 [eqn: 2]이다.
곡선 [eqn: y= LEFT ( x-a RIGHT ) ^{2} -a]와
직선 [eqn: y=x]가 접할 때의 [eqn: a]의 값을 구하자.
[eqn: LEFT ( x-a RIGHT ) ^{2} -a=x]에서 이를 정리하면
[eqn: x^2 - left( 2a+1 right)x + a^2 -a = 0]
이 이차방정식의 판별식을 [eqn: D _{2}]라 하면
[eqn: D _{2} = LEFT ( 2a+1 RIGHT ) ^{2} -4 LEFT ( a ^{2} -a RIGHT ) =8a+1]
[eqn: D _{2} =0]에서 [eqn: a= it - {1} over {8}]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rmO]

[eqn: y= LEFT ( x-a RIGHT ) ^{2} -a]

[eqn: y=x]

[eqn: t=p]

[eqn: - {1} over {4} <t<p]

[eqn: t=it- {1} over {4}]

[eqn: t< it - {1} over {4}]

[eqn: t>p]

(ⅲ) 곡선 [eqn: y= LEFT ( x-a RIGHT ) ^{2} -a]와 직선 [eqn: y=x]가
만나는 점의 개수가 [eqn: 2]인 경우

(a) 곡선 [eqn: y= LEFT ( x-a RIGHT ) ^{2} -a]가 두 직선
[eqn: y=x], [eqn: y=it-x- {1} over {4}]이 만나는 점을 지나는 경우
함수 [eqn: f LEFT ( t RIGHT )]의 불연속인 점의 개수가 [eqn: 2]이다.
곡선 [eqn: y= LEFT ( x-a RIGHT ) ^{2} -a]가
두 직선 [eqn: y=x], [eqn: y=it-x- {1} over {4}]이
만나는 점 [eqn: LEFT ( - {1} over {8} ,``- {1} over {8} RIGHT )]을 지나므로
[eqn: - {1} over {8} = LEFT ( - {1} over {8} -a RIGHT ) ^{2} -a]를 정리하면
[eqn: LEFT ( a- {3} over {8} RIGHT ) ^{2} =0]
[eqn: therefore] [eqn: a= {3} over {8}]

[eqn: y= LEFT ( x-a RIGHT ) ^{2} -a]

[eqn: y=x]

[eqn: t=it- {1} over {4}]

[eqn: t< it - {1} over {4}]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rmO]

[eqn: t=q]

[eqn: t>q]

[eqn: - {1} over {4} <t<q]

(b) 곡선 [eqn: y= LEFT ( x-a RIGHT ) ^{2} -a]가 두 직선 [eqn: y=x],
[eqn: y=it-x- {1} over {4}]이 만나는 점을 지나지 않는 경우
함수 [eqn: f LEFT ( t RIGHT )]의 불연속인 점의 개수가 [eqn: 3]이다.

[eqn: t=r]

[eqn: - {1} over {4} <t<r]

[eqn: t=it- {1} over {4}]

[eqn: t< it - {1} over {4}]

[eqn: t=s]

[eqn: t>s]

[eqn: r<t<s]

[eqn: y=x]

[eqn: y= LEFT ( x-a RIGHT ) ^{2} -a]

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: rmO]

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여

함수 [eqn: f(t)]가 [eqn: t= alpha]에서 불연속이 되는 실수 [eqn: alpha]의

개수가 [eqn: 2]일 때, [eqn: a]의 값은 [eqn: - 1over8], [eqn: {3} over {8}]이다.

따라서 모든 [eqn: a]의 값의 합은 [eqn: {1} over {4}]이다. (참)

따라서 ㄱ, ㄴ, ㄷ

22. [출제의도] 로그 이해하기

[eqn: log _{2} `a=3]이므로 [eqn: a=2 ^{3} =8]

23. [출제의도] 무리함수의 그래프 이해하기

함수 [eqn: y= sqrt {3x}]의 그래프를
[eqn: x]축의 방향으로 [eqn: m]만큼 평행이동시키면

[eqn: y= sqrt {3 LEFT ( x-m RIGHT )} = sqrt {3x-3m}]

[eqn: 3m=27]이므로 [eqn: m=9]

24. [출제의도] 수열의 극한 이해하기

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {{LEFT ( a-2 RIGHT ) n ^{2} +bn} over {2n-1}} = lim _{n` -> ` INF } {{LEFT ( a-2 RIGHT ) n+b} over {2- {1} over {n}}} =5]

이므로 [eqn: a=2], [eqn: b=10]

따라서 [eqn: a+b=12]

25. [출제의도] 부정적분 이해하기

[eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) =4x-1]이므로

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = int _{} ^{} {LEFT ( 4x-1 RIGHT ) dx} =2x ^{2} -x+C]

(단, [eqn: C`]는 적분상수)

[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =1]이므로 [eqn: C`=1]

[eqn: therefore] [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =2x ^{2} -x+1]

따라서 [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) =7]

26. [출제의도] 다항함수의 미분 이해하기

[eqn: lim _{x` -> `1} {{`f LEFT ( x RIGHT ) -3} over {x-1}} =2]이고 [eqn: lim _{x` -> 1} {LEFT ( x-1 RIGHT )} =0]이므로

[eqn: lim _{x` -> `1} {LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) -3 RIGHT }} =0]에서 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =3]

[eqn: lim _{x -> 1} {{`f LEFT ( x RIGHT ) -3} over {x-1}} = lim _{x -> 1} {{`f LEFT ( x RIGHT ) -f LEFT ( 1 RIGHT )} over {x-1}} =f` prime LEFT ( 1 RIGHT )]이므로

[eqn: f` prime LEFT ( 1 RIGHT ) =2]

[eqn: g prime (x)=3x ^{2} f LEFT ( x RIGHT ) +x ^{3} f`prime LEFT ( x RIGHT )]이므로

[eqn: g` prime LEFT ( 1 RIGHT ) =3f LEFT ( 1 RIGHT ) +f` prime LEFT ( 1 RIGHT ) =3 TIMES 3+2=11]

27. [출제의도] 등비수열을 활용하여 문제해결하기

등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 공비를 [eqn: r]라 하면,

조건 (가)에서 [eqn: a _{1} TIMES a _{2} =a _{1}^{```2} r], [eqn: 2a _{3} =2a _{1} r ^{2}]이므로
[eqn: a _{1}^{```2} r=2a _{1} r ^{2}]

수열 [eqn: left{a_ n right}]의 모든 항이 양수이므로 [eqn: a _{1} =2r] [eqn: CDOTS ㉠]

조건 (나)에서 [eqn: r=1]이면

[eqn: sum _{k=1} ^{20} a _{k} =20a _{1}], [eqn: {a _{21} -a _{1}} over {3} =0]이므로 [eqn: a _{1} =0]

[eqn: a _{1} >0]이므로 [eqn: r != 1]

[eqn: sum _{k=1} ^{20} `a _{k} = {a _{1} LEFT ( r ^{20} -1 RIGHT )} over {r-1}], [eqn: {a _{21} -a _{1}} over {3} = {a _{1} LEFT ( r ^{20} -1 RIGHT )} over {3}]에서

[eqn: {1} over {r-1} = {1} over {3}]이므로 [eqn: r=4]

[eqn: ㉠]에서 [eqn: a _{1} =8]

따라서 [eqn: a _{3} =8 TIMES 4 ^{2} =128]

28. [출제의도] 함수의 극한을 활용하여 문제해결하기

[eqn: rm P it LEFT ( `t,`` sqrt {4t-3} RIGHT )], [eqn: rm Q it LEFT ( `0,`` sqrt {4t-3} RIGHT )]이므로

[eqn: S` LEFT ( t RIGHT ) = {1} over {2} TIMES 1 TIMES LEFT ( t-1 RIGHT )], [eqn: T` LEFT ( t RIGHT ) = {1} over {2} TIMES t TIMES LEFT ( sqrt {4t-3} -1 RIGHT )]

따라서

[eqn: lim _{t` -> `1+} {{T` LEFT ( t RIGHT )} over {S` LEFT ( t RIGHT )}}][eqn: = lim _{t` -> `1+} {{{1} over {2} TIMES t` TIMES LEFT ( sqrt {4t-3} -1 RIGHT )} over {{1} over {2} TIMES LEFT ( t-1 RIGHT )}}]

[eqn: = lim _{t` -> `1+} {{4t LEFT ( t-1 RIGHT )} over {LEFT ( t-1 RIGHT ) LEFT ( sqrt {4t-3} +1 RIGHT )}}]

[eqn: =2]

29. [출제의도] 미분계수 추론하기

[eqn: h` prime LEFT ( 4 RIGHT )][eqn: = lim _{x -> `4} {{f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT ) -f LEFT ( 4 RIGHT ) g LEFT ( 4 RIGHT )} over {x-4}}]
[eqn: = lim _{x`->`4} {{f LEFT ( x RIGHT ) times {1} over {x-4} -2f LEFT ( 4 RIGHT )} over {x-4}}]
[eqn: = lim _{x` -> `4} {{f LEFT ( x RIGHT ) -2 LEFT ( x-4 RIGHT ) f LEFT ( 4 RIGHT )} over {LEFT ( x-4 RIGHT ) ^{2}}}] [eqn: cdots`㉠]

에서 [eqn: lim _{x`->`4} {LEFT ( x-4 RIGHT ) ^{2} =0}]이므로

[eqn: lim _{x` -> `4} {LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) -2 LEFT ( x-4 RIGHT ) f LEFT ( 4 RIGHT ) RIGHT } =f LEFT ( 4 RIGHT ) =0}]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x-4 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} +ax+b RIGHT )]라 두고 [eqn: ㉠]에 대입하면

[eqn: h`' LEFT ( 4 RIGHT )][eqn: = lim _{x` -> `4} {{LEFT ( x-4 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} +ax+b RIGHT )} over {LEFT ( x-4 RIGHT ) ^{2}}}]
[eqn: = lim _{x` -> `4} {{x ^{2} +ax+b} over {x-4}}] [eqn: CDOTS `㉡]

이고 [eqn: lim _{x`->`4} {LEFT ( x-4 RIGHT ) =0}]이므로

[eqn: lim _{x`->`4} {LEFT ( x ^{2} +ax+b RIGHT ) =16+4a+b=0}]

[eqn: b=it-4a-16]이고 이를 [eqn: ㉡]에 대입하면

[eqn: h`' LEFT ( 4 RIGHT )][eqn: = lim _{x` -> `4} {{x ^{2} +ax-4a-16} over {x-4}}]
[eqn: = lim _{x` -> `4} {{LEFT ( x-4 RIGHT ) LEFT ( x+a+4 RIGHT )} over {x-4}}]
[eqn: =a+8=6]

에서 [eqn: a=it-2], [eqn: b=it-8]이다.

[eqn: therefore`] [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = LEFT ( x-4 RIGHT ) ^{2} LEFT ( x+2 RIGHT )]

따라서 [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =16times2=32]

30. [출제의도] 함수의 극한을 활용하여 문제해결하기

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = lim _{n` -> ` INF } {{LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{2n+1} -1} over {LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{2n} +1}}]에서

ⅰ) [eqn: LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT | >1]일 때, [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =f LEFT ( x RIGHT )]

ⅱ) [eqn: LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT | <1]일 때, [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =it-1]

ⅲ) [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =1]일 때, [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =0]

ⅳ) [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =it-1]일 때, [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =it-1]

그러므로 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]의 그래프는 그림과 같다.

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rm O]

[eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: 3]

[eqn: 1]

[eqn: -1]

방정식 [eqn: mg LEFT ( x RIGHT ) =x+m]의 실근의 개수는

함수 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )]의 그래프와 직선 [eqn: y= {1} over {m} x+1]이

만나는 점의 개수와 같다.

(ⅰ) [eqn: m=2k-1]([eqn: k]는 자연수)인 경우

(a) [eqn: x GEQ 0]일 때,

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: RMO]

[eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: m=2k-1]

[eqn: CDOTS]

[eqn: 3]

[eqn: 1]

[eqn: -1]

[eqn: m=1]

[eqn: LEFT ( `4k-2,``3 RIGHT )]

직선 [eqn: y= {1} over {m} x+1]이 함수 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )]의 그래프 위에
있지 않은 점 [eqn: LEFT ( `4k-2,``3 RIGHT )]을 지난다.

[eqn: k=1]일 때, 만나는 점의 개수는 [eqn: 1]

[eqn: k GEQ 2]일 때,

함수 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )]의 그래프와 직선 [eqn: y= {1} over {m} x+1]이

만나는 점의 개수는 구간 [eqn: LEFT (` 0,``1 RIGHT )]에서 [eqn: 1],

구간 [eqn: LEFT ( `4l-5,``4l-3 RIGHT )]([eqn: l=2], [eqn: 3], [eqn: CDOTS], [eqn: k])에서
각각 [eqn: 2]이다.

그러므로 함수 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )]의 그래프와

직선 [eqn: y= {1} over {m} x+1]이 만나는 점의 개수는

[eqn: 1+2 LEFT ( k-1 RIGHT ) =2k-1]

(b) [eqn: x<0]일 때,

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: RMO]

[eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: CDOTS]

[eqn: -1]

[eqn: LEFT ( -2k+1,``0 RIGHT )]

[eqn: LEFT ( -4k+2,``-1 RIGHT )]

[eqn: 3]

[eqn: 1]

직선 [eqn: y= {1} over {m} x+1]이

점 [eqn: LEFT ( -2k+1,``0 RIGHT )]과 [eqn: LEFT ( -4k+2,``-1 RIGHT )]을 지나므로

함수 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )]의 그래프와 직선 [eqn: y= {1} over {m} x+1]이

만나는 점의 개수는 [eqn: 2]이다.

(a), (b)에 의하여

[eqn: a _{2k-1} = LEFT ( 2k-1 RIGHT ) +2=2k+1]

(ⅱ) [eqn: m=2k]([eqn: k]는 자연수)인 경우

(a) [eqn: x GEQ 0]일 때,

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: RMO]

[eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: m=2k]

[eqn: CDOTS]

[eqn: m=2]

[eqn: 3]

[eqn: 1]

[eqn: -1]

[eqn: LEFT ( `4k,``3 RIGHT )]

직선 [eqn: y= {1} over {m} x+1]이 함수 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )]의 그래프 위의 점 [eqn: LEFT ( `4k,``3 RIGHT )]을 지난다.

[eqn: k=1]일 때, 만나는 점의 개수는 [eqn: 2]

[eqn: k GEQ 2]일 때,

함수 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )]의 그래프와 직선 [eqn: y= {1} over {m} x+1]이
만나는 점의 개수는 구간 [eqn: LEFT ( `0,``1 RIGHT )]에서 [eqn: 1],

구간 [eqn: LEFT ( `4l` prime -5,``4l` prime -3 RIGHT )]([eqn: l`prime=2], [eqn: 3], [eqn: CDOTS], [eqn: k])에서
각각 [eqn: 2]이다.

그러므로 함수 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )]의 그래프와

직선 [eqn: y= {1} over {m} x+1]이 만나는 점의 개수는

[eqn: 1+2 LEFT ( k-1 RIGHT ) +1=2k]

(b) [eqn: x<0]일 때,

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rmO]

[eqn: 3]

[eqn: -1]

[eqn: 1]

[eqn: cdots]

[eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: LEFT ( -2k,``0 RIGHT )]

[eqn: LEFT ( -4k,``-1 RIGHT )]

직선 [eqn: y= {1} over {m} x+1]이 점 [eqn: LEFT ( -2k,``0 RIGHT )]과

[eqn: LEFT ( -4k,``-1 RIGHT )]을 지나므로 함수 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )]의

그래프와 직선 [eqn: y= {1} over {m} x+1]은 만나지 않는다.

그러므로 함수 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )]의 그래프와

직선 [eqn: y= {1} over {m} x+1]이 만나는 점의 개수는 [eqn: 0]이다.

(a), (b)에 의하여

[eqn: a _{2k} =2k+0=2k]

(ⅰ)과 (ⅱ)에 의하여

[eqn: a _{2k-1} =2k+1], [eqn: a _{2k} =2k]([eqn: k]는 자연수)이며

[eqn: a _{2k-1} +a _{2k} =b _{k}]라 하면 [eqn: b _{k} =4k+1]

따라서

[eqn: sum _{m=1} ^{21} a _{m}][eqn: = sum _{m=1} ^{20} a _{m} +a _{21}]
[eqn: = sum _{k=1} ^{10} b _{k} +a _{21}]
[eqn: = sum _{k=1} ^{10} LEFT ( 4k+1 RIGHT ) +23]
[eqn: =4 TIMES {10 TIMES 11} over {2} +10+23=253]