두 다항식

2018학년도 11월 고1 전국연합학력평가 문제지

수학 영역

제 2 교시

수학 영역

수학 영역

[eqn: A=x ^{2} +xy],    [eqn: B=x ^{2} +7xy]

에 대하여 [eqn: A+B`]는? [2점]

12

① [eqn: x ^{2} +2xy]	② [eqn: x ^{2} +4xy]	③ [eqn: 2x ^{2} +4xy]

④ [eqn: 2x ^{2} +8xy]	⑤ [eqn: 3x ^{2} +2xy]

등식

[eqn: x ^{2} +x+a=x ^{2} +bx+6]

이 [eqn: x]에 대한 항등식일 때, 두 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a+b]의 값은?

[2점]

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]	④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

복소수 [eqn: 5-i]의 켤레복소수가 [eqn: a+bi]일 때, 두 실수 [eqn: a], [eqn: b]의 곱
[eqn: a timesb]의 값은? (단, [eqn: i= sqrt {-1}]) [2점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

두 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =2x], [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} +5]에 대하여 [eqn: LEFT ( g CIRC f RIGHT ) LEFT ( 1 RIGHT )]의 값은?

[3점]

① [eqn: 8]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 10]	④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 12]

세 조건 [eqn: p], [eqn: q], [eqn: r]에 대하여 두 명제 [eqn: p`` -> ` SIM r]와 [eqn: q`` -> ``r]가
모두 참일 때, 다음 명제 중에서 항상 참인 것은? [3점]

① [eqn: p`` -> ` SIM q]	② [eqn: q`` -> ``p]	③ [eqn: SIM q`` -> ` SIM r]

④ [eqn: r`` -> ``p]	⑤ [eqn: r`` -> ``q]

[eqn: 0 LEQ x leq3]에서 이차함수 [eqn: y=it-x ^{2} +2x+5]의 최솟값은? [3점]

① [eqn: 2]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 0]	④ [eqn: -1]	⑤ [eqn: -2]

[eqn: x], [eqn: y]에 대한 연립방정식

[eqn: {cases{``2x-y=3 _{{}_{`}}#``x ^{2} -y= it 2 ^{{}^{`}}}}]

의 해가 [eqn: x=alpha], [eqn: y=beta]일 때, [eqn: alpha + beta]의 값은? [3점]

① [eqn: -4]	② [eqn: -2]	③ [eqn: 0]	④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 4]

복소수 [eqn: z=1+i]에 대하여 [eqn: {1} over {z ^{2}}]의 값은? (단, [eqn: i= sqrt {-1}]) [3점]

① [eqn: - {i} over {4}]	② [eqn: - {i} over {2}]	③ [eqn: i]	④ [eqn: 2i]	⑤ [eqn: 4i]

좌표평면 위의 세 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC]를 꼭짓점으로 하는
삼각형 [eqn: rmABC]에서 점 [eqn: rm A]의 좌표가 [eqn: LEFT ( `1,``1 RIGHT )], 변 [eqn: rm BC]의 중점의
좌표가 [eqn: LEFT ( `7,``4 RIGHT )]이다. 삼각형 [eqn: rm ABC]의 무게중심의 좌표가
[eqn: LEFT ( `a,``b RIGHT )]일 때, [eqn: a+b]의 값은? [3점]

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]	④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

두 실수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: LEFT ( a+b-1 RIGHT ) LEFT { LEFT ( a+b RIGHT ) ^{2} +a+b+1 RIGHT } =8]
일 때, [eqn: LEFT ( a+b RIGHT ) ^{3}]의 값은? [3점]

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]	④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

[eqn: x]에 대한 다항식 [eqn: x ^{4} -4x ^{2} +a]가 [eqn: x-1]로 나누어떨어질 때의
몫을 [eqn: Q` LEFT ( x RIGHT )]라 하자. [eqn: Q` LEFT ( a RIGHT )]의 값은? (단, [eqn: a]는 상수이다.) [3점]

① [eqn: 24]	② [eqn: 25]	③ [eqn: 26`]	④ [eqn: 27]	⑤ [eqn: 28]

실수 [eqn: x]에 대한 두 조건

[eqn: p:x ^{2} -5x-6 LEQ 0],

[eqn: q: LEFT ( x-a RIGHT ) LEFT ( x-a-2 RIGHT ) LEQ 0]

에 대하여 [eqn: p]가 [eqn: q]이기 위한 필요조건이 되도록 하는 모든 정수 [eqn: a]의
개수는? [3점]

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]	④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

항공기가 수평면에서 일정한 선회 속도와 선회각을 유지한 채
[eqn: 360°] 회전하는 선회 비행을 할 때 생기는 원의 반지름을
선회 반경이라 한다.

선회각

항공기의 선회 속도를 [eqn: V], 선회각을 [eqn: theta], 선회 반경을 [eqn: R`]라
하면 다음과 같은 관계식이 성립한다고 한다.

[eqn: R= {V ^{2}} over {g`tan theta }]
(단, [eqn: 0° < theta <90°]이고, [eqn: g]는 중력 가속도이다.)

어떤 항공기가 선회 속도 [eqn: V _{1}], 선회각 [eqn: 30°]로 선회 비행할 때의
선회 반경을 [eqn: R _{1}]이라 하고, 선회 속도 [eqn: V _{2}], 선회각 [eqn: 30°]로
선회 비행할 때의 선회 반경을 [eqn: R _{2}]라 하자.
선회 속도 [eqn: V _{1}]과 [eqn: V _{2}]의 비가 [eqn: 2:3]일 때, [eqn: {R _{1}} over {R _{2}}]의 값은? [3점]

① [eqn: {1} over {9}]	② [eqn: {2} over {9}]	③ [eqn: {1} over {3}]	④ [eqn: {4} over {9}]	⑤ [eqn: {5} over {9}]

[eqn: x]에 대한 부등식 [eqn: LEFT | 3x-1 RIGHT | <x+a]의 해가 [eqn: -1<x<3]일 때,
양수 [eqn: a]의 값은? [4점]

① [eqn: 4]	② [eqn: {17} over {4}]	③ [eqn: {9} over {2}]	④ [eqn: {19} over {4}]	⑤ [eqn: 5]

좌표평면에서 직선 [eqn: 3x+4y+17=0]을 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: n]만큼
평행이동한 직선이 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =1]에 접할 때, 자연수 [eqn: n]의 값은?

[4점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[eqn: 2] 이상의 세 자연수 [eqn: p], [eqn: q], [eqn: r]에 대하여
[eqn: 42 TIMES LEFT ( 42-1 RIGHT ) TIMES LEFT ( 42+6 RIGHT ) +5 TIMES 42-5=p TIMES q TIMES r]일 때,
[eqn: p+q+r]의 값은? [4점]

① [eqn: 131]	② [eqn: 133]	③ [eqn: 135]	④ [eqn: 137]	⑤ [eqn: 139]

그림과 같이 좌표평면에서 직선 [eqn: y= it -x+10]과 [eqn: y]축과의
교점을 [eqn: rm A], 직선 [eqn: y=3x-6]과 [eqn: x]축과의 교점을 [eqn: rm B],
두 직선 [eqn: y= it -x+10], [eqn: y=3x-6]의 교점을 [eqn: rm C]라 하자.
[eqn: x]축 위의 점 [eqn: rm D LEFT ( it `a,``0 RIGHT )]([eqn: a>2])에 대하여 삼각형 [eqn: rm ABD]의 넓이가
삼각형 [eqn: rm ABC]의 넓이와 같도록 하는 [eqn: a]의 값은? [4점]

[eqn: rm A]

[eqn: rm B]

[eqn: rm C]

[eqn: rm O]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: y=3x-6]

[eqn: y=it-x+10]

① [eqn: 5]	② [eqn: {26} over {5}]	③ [eqn: {27} over {5}]	④ [eqn: {28} over {5}]	⑤ [eqn: {29} over {5}]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 두 이차다항식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )], [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]가
다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( x RIGHT )]를 [eqn: x-2]로 나눈 몫과 나머지가 서로 같다.

(나) [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x ^{2} -1]로 나누어떨어진다.

[eqn: g LEFT ( 4 RIGHT ) =3]일 때, [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) +g LEFT ( 2 RIGHT )]의 값은? [4점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

좌표평면 위에 두 점 [eqn: rm A LEFT ( `-4,``4 RIGHT )], [eqn: rm B LEFT ( `5,``3 RIGHT )]이 있다.
[eqn: x]축 위의 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]와 직선 [eqn: y= it 1] 위의 점 [eqn: rmR]에 대하여
[eqn: rm {bar{AP}} + {bar{PR}} + {bar{RQ}} + {bar{QB}}]의 최솟값은? [4점]

[eqn: rm A]

[eqn: rm P]

[eqn: rm Q]

[eqn: rm R]

[eqn: rm B]

[eqn: rm O]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: y=1]

① [eqn: 12]	② [eqn: 5 sqrt {6}]	③ [eqn: 2 sqrt {39}]	④ [eqn: 9 sqrt {2}]	⑤ [eqn: 2 sqrt {42}]

[eqn: 18] 이하의 자연수 [eqn: k]에 대하여 두 집합

[eqn: A="{"`x``□``x]는 [eqn: k]의 양의 약수[eqn: "}"], [eqn: B= LEFT { `2,``5,``6 RIGHT }]

이 있다. [eqn: n LEFT ( A SMALLINTER B` RIGHT ) =2]일 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로
고른 것은? [4점]

		보 기
ㄱ. [eqn: A SMALLINTER B= LEFT { `2,``5 RIGHT }]이면 [eqn: k=10]이다. ㄴ. [eqn: A SMALLINTER B= LEFT { `5,``6 RIGHT }]을 만족하는 [eqn: k]가 존재한다. ㄷ. 집합 [eqn: A-B`]의 모든 원소의 합이 홀수가 되는 모든 [eqn: k]의 값의 합은 [eqn: 28]이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

좌표평면에서 반지름의 길이가 [eqn: r]이고
중심이 이차함수 [eqn: y= {1} over {2} x ^{2} + {7} over {2}]의 그래프 위에 있는 원 중에서,
직선 [eqn: y=x+7]에 접하는 원의 개수를 [eqn: m]이라 하고
직선 [eqn: y=x]에 접하는 원의 개수를 [eqn: n]이라 하자.
[eqn: m]이 홀수일 때, [eqn: m+n+r ^{2}]의 값은? (단, [eqn: r]는 상수이다.) [4점]

① [eqn: 11]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 13]	④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 15]

단 답 형

전체집합 [eqn: U= LEFT { `1,``2,``3,``4 RIGHT }]의 부분집합 [eqn: A= LEFT { `4 RIGHT }]에 대하여
집합 [eqn: A ^{C}]의 모든 원소의 합을 구하시오. [3점]

두 집합 [eqn: X= LEFT { `1,``2,``3 RIGHT }], [eqn: Y= LEFT { `4,``5,``6 RIGHT }]에 대하여
함수 [eqn: f:X`` -> ``Y`]가 그림과 같을 때, 함수 [eqn: f]의 치역의 모든 원소의
합을 구하시오. [3점]

[eqn: X]

[eqn: Y]

[eqn: 1]

[eqn: 2]

[eqn: 3]

[eqn: 6]

[eqn: 5]

[eqn: 4]

[eqn: f]

좌표평면 위의 두 점 [eqn: rm A LEFT ( `-2,``0 RIGHT )], [eqn: rm B LEFT ( `0,``7 RIGHT )]에 대하여
선분 [eqn: rm AB]를 [eqn: 2:1]로 외분하는 점의 좌표가 [eqn: LEFT ( `2,``a RIGHT )]일 때,
[eqn: a]의 값을 구하시오. [3점]

실수 [eqn: k]에 대한 조건

‘모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: x ^{2} +6x+k GEQ 0]이다.’

가 참인 명제가 되도록 하는 [eqn: k]의 최솟값을 구하시오. [3점]

좌표평면 위의 두 점 [eqn: rm A LEFT ( `5,``12 RIGHT )], [eqn: rm B it LEFT ( `a,``b RIGHT )]에 대하여
선분 [eqn: rmAB]의 길이가 [eqn: 3]일 때, [eqn: a ^{2} +b ^{2}]의 최댓값을 구하시오. [4점]

그림과 같이 이차함수 [eqn: y=x ^{2} -8x+12]의 그래프와
직선 [eqn: y=k]가 만나는 두 점을 각각 [eqn: rm A], [eqn: rmB]라 하자.
삼각형 [eqn: rmAOB]의 넓이가 [eqn: 15]일 때, 양수 [eqn: k]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: rmO]는 원점이다.) [4점]

[eqn: rm B]

[eqn: rm A]

[eqn: rm O]

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: y=k]

[eqn: y=x ^{2} -8x+12]

집합 [eqn: X= LEFT { `1,``2,``3,``4,``5,``6,``7,``8 RIGHT }]에 대하여 함수 [eqn: f:X`` -> ``X`]가
다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 [eqn: f]의 치역의 원소의 개수는 [eqn: 7]이다.

(나) [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) +f LEFT ( 2 RIGHT ) +f LEFT ( 3 RIGHT ) +f LEFT ( 4 RIGHT ) +f LEFT ( 5 RIGHT ) +f LEFT ( 6 RIGHT ) +f LEFT ( 7 RIGHT ) +f LEFT ( 8 RIGHT ) =42]

(다) 함수 [eqn: f]의 치역의 원소 중 최댓값과 최솟값의 차는 [eqn: 6]이다.

집합 [eqn: X`]의 어떤 두 원소 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: f LEFT ( a RIGHT ) =f LEFT ( b RIGHT ) =n]을
만족하는 자연수 [eqn: n]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a != b]) [4점]

자연수 [eqn: n]에 대하여 이차함수 [eqn: y=2x ^{2}]의 그래프와
직선 [eqn: y=nx]의 교점 중 원점이 아닌 점을 [eqn: rmA],
이차함수 [eqn: y=2x ^{2}]의 그래프와 직선 [eqn: y= LEFT ( n+2 RIGHT ) x]의 교점 중
원점이 아닌 점을 [eqn: rm B]라 하자.
다음은 삼각형 [eqn: rmOAB]의 넓이를 [eqn: S` LEFT ( n RIGHT )]이라 할 때,
[eqn: S` LEFT ( n RIGHT ) >100]을 만족시키는 [eqn: n]의 최솟값을 구하는 과정이다.
(단, [eqn: rm O]는 원점이다.)

이차함수 [eqn: y=2x ^{2}]의 그래프와 직선 [eqn: y=nx]의 교점 [eqn: rmA]의
[eqn: x]좌표를 구하면 [eqn: 2x ^{2} =nx]([eqn: x!=0])에서 [eqn: x= {n} over {2}]

점 [eqn: rmA]를 지나고 [eqn: x]축에 수직인 직선이

직선 [eqn: y= LEFT ( n+2 RIGHT ) x]와 만나는 점을 [eqn: rm A']이라 하자.

선분 [eqn: rmAA']의 길이는

[eqn: {bar{rm AA prime it}} = LEFT . {BOX{```````(가) _{`}^{`} ```````}} RIGHT . `- {it n ^{2} rm } over {2}]

이므로 삼각형 [eqn: rmOAB]의 넓이 [eqn: S` LEFT ( n RIGHT )]은

[eqn: S` LEFT ( n RIGHT ) = {1} over {2} TIMES n TIMES LEFT ( `` LEFT . {BOX{```````(나) _{`}^{`} ```````}} RIGHT . `` RIGHT )]

따라서 [eqn: S` LEFT ( n RIGHT ) >100]을 만족시키는
자연수 [eqn: n]의 최솟값은 [eqn: LEFT . {BOX{```````(다) _{`}^{`} ```````}} RIGHT .] 이다.

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f LEFT ( n RIGHT )], [eqn: g LEFT ( n RIGHT )]이라 하고,
(다)에 알맞은 수를 [eqn: k]라 할 때, [eqn: f LEFT ( k RIGHT ) +g LEFT ( k RIGHT )]의 값을 구하시오.

[4점]

집합 [eqn: X= LEFT { `1,``2,``3,``4,``5,``6,``7 RIGHT }]에 대하여 함수 [eqn: f`:X`` -> ``X`]가
역함수가 존재하고, 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: x=1], [eqn: 2], [eqn: 6]일 때 [eqn: LEFT ( f CIRC f RIGHT ) LEFT ( x RIGHT ) +f ^{`-1} LEFT ( x RIGHT ) =2x]이다.

(나) [eqn: f LEFT ( 3 RIGHT ) +f LEFT ( 5 RIGHT ) =10]

[eqn: f LEFT ( 6 RIGHT ) !=6]일 때, [eqn: f LEFT ( 4 RIGHT ) times LEFT { f LEFT ( 6 RIGHT ) +f LEFT ( 7 RIGHT ) RIGHT }]의 값을 구하시오. [4점]

※ 확인 사항

답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.