수리영역정답

수리 영역

1. ⑤	2. ③	3. ①	4. ④	5. ④

6. ②	7. ③	8. ④	9. ①	10. ③

11. ③	12. ①	13. ②	14. ④	15. ①

16. ③	17. ②	18. ②	19. ②	20. ⑤

21. ⑤	22. ④	23. ④	24. ⑤	25. ②

1. 수열

정답 ⑤

공차가 [eqn: d]인 등차수열 [eqn: left{a_n right}]의 일반항 [eqn: a_n]은

[eqn: a_n =a_1 + (n-1)d]이고,

[eqn: (a_1 + a_2 ) ``:`` a_3 = 2 ``:`` 3]에서

[eqn: 2a_3 = 3(a_1 + a_2 )]이므로

[eqn: 2(a_1 + 2d ) =3 (a_1 + a_1 + d)]

[eqn: 2a_1 +4 d = 6a_1 +3d]

[eqn: d= 4a_1]	…… ㉠

[eqn: therefore~ a_7 over {a_4 + a_6 }][eqn: = {a_1 +6 d }over {a_1 +3d +a_1 + 5d}]
[eqn: = {a_1 +24a_1 } over {2a_1 + 32a_1 }] ([eqn: because] ㉠)
[eqn: = 25a_1 over 34a_1]
[eqn: = 25over34]

2. 지수와 로그

정답 ③

[eqn: abc != 0]이므로 [eqn: ab+bc+ca=abc]의 양변을 [eqn: abc]로 나

누면

[eqn: 1over a + 1over b + 1 over c = 1]	…… ㉠

한편, [eqn: log_2 x = a]에서 [eqn: log _ x 2 = 1 over a]	…… ㉡

[eqn: log_3 x = b]에서 [eqn: log_x 3 = 1over b]	…… ㉢

[eqn: log _5 x = c]에서 [eqn: log _x 5 = 1over c]	…… ㉣

㉡, ㉢, ㉣을 변끼리 더하면

[eqn: log_x 2 + log _x 3 + log _x 5 = 1over a + 1over b + 1over c]

이때, [eqn: log _x 2 + log _x 3 + log _x 5]

[eqn: = log _x (2 cdot 3 cdot 5)= log _x 30]

이고, ㉠에서 [eqn: 1 over a + 1over b + 1over c = 1]이므로

[eqn: log_x 30 = 1]

[eqn: therefore~x=30]

3. 행렬

정답 ①

[eqn: A^2 + A + E]의 역행렬이 [eqn: A^2 - A + E]이므로

[eqn: (A^2 + A+E)(A^2 - A+E) = E]

[eqn: A^4 - A^3 + A^2 + A^3 - A^2 + A+A^2 -A + E = E]

[eqn: A^4 + A^2 + E = E]

[eqn: A^2 = -E] [eqn: (because~ A^4 = E )]

[eqn: A(-A) = E]

[eqn: therefore~A^-1 = -A]	…… ㉠

또한 [eqn: A^4 = A^3 A = E]에서 [eqn: (A^3 )^-1 = A]이므로

[eqn: (A^-1 )^3 = (A^3 ) ^-1 = A]	…… ㉡

㉠, ㉡에 의해

[eqn: (A^-1 )^3 + A^-1 = A+ (-A) = O]

4. 식과 그 연산

정답 ④

[eqn: f(alpha) = f( beta) = f( gamma) = -3]에서

[eqn: f(alpha) + 3 = f( beta) + 3= f( gamma)+ 3 = 0]

이므로 [eqn: alpha,~ beta,~ gamma]는 방정식 [eqn: f(x) + 3 = 0]의 근이다.

이때, [eqn: f(x) + 3= 0] ⇔ [eqn: x^3 - 6x ^2 + 3x +10 = 0]이므로

삼차방정식의 근과 계수의 관계에 의해

[eqn: alpha + beta + gamma = 6], [eqn: alpha beta + beta gamma + gamma alpha = 3]

[eqn: therefore~ alpha^2 + beta^2 + gamma^2][eqn: = (alpha + beta + gamma )^2 - 2( alpha beta + beta gamma + gamma alpha)##=6^2 - 2 times 3 = 36 - 6 = 30]

5. 수열의 극한

정답 ④

[eqn: sum _{ n=1} ^{ INF } left( a_n over 4^n -3 right)]이 수렴하므로

[eqn: lim _{ n -> inf }{ left( a_n over 4^n -3 right) = 0}]

[eqn: left( because ~ sum _{ n=1 } ^{ inf } a_n 이~수렴~⇒~lim _{n -> inf} { a_n = 0} right )]

[eqn: therefore~lim_{n -> inf }{ a_n over 4^n = 3}]	…… ㉠

[eqn: therefore~lim_{n -> inf}{{a_n - 4 cdot 2^n }over {a_n - 2 cdot 4^n }}][eqn: = lim_{n -> inf }{ {{a_n - 4 cdot 2 ^n }over {4^n } }over{{a_n - 2 cdot 4^n }over 4^n}}}]
[eqn: #= lim _{n -> inf } { { a_n over 4^n - 4 cdot 1over 2^n}over{ a_n over 4^n - 2}}]
[eqn: #= 3-0 over {3-2}] [eqn: #left( BECAUSE ~㉠,~ lim _{n -> INF } {{1} over {2 ^{n}} =0} right)]
[eqn: # = 3]

6. 수열

정답 ②

직선 [eqn: y=ax]가 원 [eqn: (x-4)^2 + y^2 = 4over n^2]에 접하므로 원의

중심 [eqn: (4,~0)]에서 직선 [eqn: ax-y = 0]에 이르는 거리와 원의

반지름의 길이 [eqn: 2 over n]가 같다.

즉, [eqn: {|`4a`| }over{ sqrt{a^2 + 1}} = 2 over n]이므로

[eqn: 16a^2 over{ a^2 +1} = 4 over n^2]

[eqn: 16a^2 n^2 = 4a^2 + 4]

[eqn: 16a^2 n^2 - 4a^2 = 4]

[eqn: a^2 (16n^2 - 4 ) ＝ 4]

[eqn: a^2 = 4 over {16n^2 - 4 } = 1 over { 4n^2 - 1 }]

이때, [eqn: a= f(n)]이므로

[eqn: a^2][eqn: = left{ f(n) right} ^2]

[eqn: = 1 over { 4n^2 - 1} = 1 over { (2n-1)(2n+1) }]

[eqn: therefore~ sum _{n=1} ^{10} left{f(n) right} ^2][eqn: = sum _{n=1}^{10} 1over {(2n-1)(2n+1) }][eqn: #= sum _{n=1}^{10} 1over2 left( 1over 2n-1 - 1over 2n+1 right)]
[eqn: #= 1over2 left{ left( 1over1 - 1over3 right) + left( 1over3 - 1over5 right) + left( 1over5 - 1over7 right)]                    [eqn: #+ cdots + left( 1over19 - 1over21 right) right}]
[eqn: = 1over2 left( 1- 1over21 right) ##= 1over2 cdot 20over21 ##= 10over21]

7. 수와 연산

정답 ③

집합 [eqn: A triangle B = (A-B) cup (B - A)]를 벤 다이어그램에

나타내면 다음 그림의 어두운 부분과 같다.

[eqn: A= left{ x`|`x는~6의~약수right} = left{ 1, `` under {2 } ,``3,``6right}]이고,

[eqn: A triangle B = left{ under { 2},``5,``8,``10right}]이므로

[eqn: A-B = left{2 right}], [eqn: A capB = left{1,~3,~6right}],

[eqn: B-A = left{ 5,~8,~10right}]

또, [eqn: U][eqn: = left{ x`|`x는``10`` 이하의``자연수right}][eqn: = left{1,``2,``cdots,``10right}]

이므로 벤 다이어그램에 나타내면

따라서 [eqn: n(B) = 6]이므로 집합 [eqn: B]의 부분집합의 개수는

[eqn: 2^6 = 64]이다.

8. 행렬

정답 ④

[eqn: A = left( matrix { ``a``& ``b``# ``c``&``d`` }right)]라 하면

[eqn: A+2E][eqn: = left( matrix { ``a``&``b`` # ``c``&``d`` }right) + 2 left( matrix { ``1``&``0`` # ``0``&``1`` }right)][eqn: = left( matrix { ``a+2``&``b`` # ``c``&``d+2`` }right)]

[eqn: A-2E][eqn: = left( matrix { ``a``&``b`` # ``c``&``d`` }right) -2 left( matrix { ``1``&``0`` # ``0``&``1`` }right)][eqn: = left( matrix { ``a-2``&``b`` # ``c``&``d-2`` }right)]

이고, [eqn: A+2E], [eqn: A-2E]의 역행렬이 존재하지 않으므로

[eqn: (a+2)(d+2)- bc = 0], [eqn: (a-2)(d-2)-bc = 0]

즉, [eqn: ad + 2(a+d) - bc = -4], [eqn: ad - 2(a+d)-bc = -4]

두 식을 변끼리 빼면 [eqn: 4(a+d) = 0]

[eqn: therefore~a+d=0]	…… ㉠

또, 변끼리 더하면 [eqn: 2ad - 2bc =- 8]

[eqn: therefore~ad-bc = -4]    …… ㉡

한편, [eqn: A + 4E][eqn: = left( matrix { ``a``&``b`` # ``c``&``d`` }right) +4left( matrix { ``1``&``0`` # ``0``&``1`` }right)]
[eqn: #= left( matrix { ``a+4``&``b`` # ``c``&``d+4`` }right)]

이므로

[eqn: (A+4E )^-1]
[eqn: = 1over {(a+4)(d+4)-bc} left( matrix { ``d+4``&``-b`` # ``-c``&``a+4`` }right)]

[eqn: = 1over {ad-bc+4(a+d)+16 } left(matrix{ `-a+4`&`-b` #`-c` &`-d+4` }right)] ([eqn: because] ㉠)
[eqn: #= 1over12 left{ - left( matrix{ ``a``&``b`` #``c`` &``d`` }right) + 4 left( matrix{ ``1``& ``0``# ``0``&``1`` }right) right}~~( ∵``㉠, ``㉡)]
[eqn: #= 1over12 (-A+4E) ##= - 1over12 A + 1over3 E]

따라서 [eqn: p = - 1over12], [eqn: q = 1over3]이므로

[eqn: p+q = - 1over12 + 1over3 = 1over4]

9. 삼각함수

정답 ①

[eqn: rm bar AB = it a], [eqn: rm bar BC = it b]라 하면 평행사변형 [eqn: rm ABCD]의 넓이는

[eqn: rm □ABCD][eqn: rm = triangle ABC + triangle ACD ##= 2 rm triangle ABC]
[eqn: #=2 times 1over2 ab sin theta]
[eqn: #= ab sin 60 °]
[eqn: #= sqrt3 over2 ab]

이고

[eqn: rm □ ABCD][eqn: rm = 1over2 times bar AC times bar BD times sin theta]
[eqn: #= 1over2 times sqrt 7 times sqrt13 times sin theta]
[eqn: #= sqrt91 over 2 rmsin theta]

이므로 [eqn: sqrt 3 over 2 ab = sqrt91 over2 rm sin theta]

[eqn: sqrt 3 ab = sqrt91 rm sin theta]	…… ㉠

삼각형 [eqn: rmABC]에서 제이코사인법칙을 적용하면

[eqn: (sqrt7 )^2 = a^2 + b^2 - 2ab cos 60°]

[eqn: 7 = a^2 + b^2 - ab]	…… ㉡

또, 삼각형 [eqn: rm BCD]에서 제이코사인법칙을 적용하면

[eqn: (sqrt13 )^2 = a^2 + b^2 - 2ab cos 120°]

[eqn: 13 = a^2 + b^2 + ab]	…… ㉢

[eqn: ㉢-㉡]을 하면

[eqn: 2ab=6]    [eqn: therefore``ab=3]

이를 ㉠에 대입하면

[eqn: 3 sqrt3 = sqrt91 rm sin theta]

[eqn: therefore``sin theta ={ 3sqrt3} over sqrt91]

[eqn: therefore~sin^2 theta = left( {3sqrt3}over sqrt91 right)^2 = 27over91]

10. 수와 연산

정답 ③

(나)에 의해 [eqn: 5＊3 = 3＊5]이므로 [eqn: 3＊5]를 구해 보자.

[eqn: 3＊5 = 3＊(3+2)]이므로

(다)에 [eqn: a=3], [eqn: b=2]를 대입하면

[eqn: 3＊(3+2)over 3＊2 = 5over2]

[eqn: 3＊5 = 5over2 times(3＊2)]	…… ㉠

여기서 [eqn: 3＊2 = 2＊3]이므로 [eqn: 2＊3]을 구해 보자.

[eqn: 2＊3 = 2＊(2+1)]이므로

(다)에 [eqn: a=2], [eqn: b=1]을 대입하면

[eqn: 2＊(2+1)over2＊1 = 3]

[eqn: 2＊3 = 3times(2＊1)]	…… ㉡

여기서 [eqn: 2＊1 = 1＊2]이므로 [eqn: 1＊2]를 구해 보자.

[eqn: 1＊2 = 1＊(1+1)]이므로

(다)에 [eqn: a=1], [eqn: b=1]을 대입하면

[eqn: 1＊(1+1)over 1＊1 = 2]

[eqn: 1＊2 = 2times(1＊1)]

여기서 (가)에 의해

[eqn: 1＊1 = 1+2=3]

이므로

[eqn: 1＊2 = 2times3 = 6]

즉, [eqn: 2＊1 = 6]이므로 ㉡에 대입하면

[eqn: 2＊3 = 3times6 = 18]

즉, [eqn: 3＊2 = 18]이므로 ㉠에 대입하면

[eqn: 3＊5 = 5over2 times 18 = 45]

[eqn: therefore~5＊3 = 45]

11. 함수

정답 ③

함수 [eqn: f(x) = ax-d over cx+d]가 [eqn: x > -2], [eqn: y < 5]에서 일대일

대응이려면 그래프가 다음 그림과 같아야 하므로 직선

[eqn: x=-2], [eqn: y=5]가 점근선이어야 한다.

[eqn: f(x)][eqn: = ax-b over cx+d = {a left(x+ d over c right) - ad over c - b}over{c left( x + d over c right)}]
[eqn: #= { - ad over c -b} over {c left( x + d over c right ) } + a over c]

에서 직선 [eqn: x= - d over c], [eqn: y = a over c]가 함수 [eqn: f(x)]의 그래프의

점근선이므로

[eqn: x= - d over c = -2], [eqn: y = a over c = 5]

[eqn: d over c = 2], [eqn: a over c = 5]를 만족하는 자연수 [eqn: a,~c,~d]는

[eqn: c=1]일 때, [eqn: a=5], [eqn: d=2]

[eqn: c=2]일 때, [eqn: a=10], [eqn: d=4]

[eqn: c=3]일 때, [eqn: a=15], [eqn: d=6]

[eqn: c ≥ 4]일 때는 [eqn: a≥20]이므로 조건을 만족하지 않는다.

이때, [eqn: a+b+c+d]가 최소이려면

[eqn: a=5], [eqn: c=1], [eqn: d=2]이고, [eqn: b=1]이어야 한다.

또, [eqn: a+b+c+d]가 최대이려면

[eqn: a= 15], [eqn: c=3], [eqn: d=6]이고, [eqn: b=19]이어야 한다.

따라서 최솟값과 최댓값의 합은

[eqn: (5+1+1+2)+(15+19+3+6) = 9+43][eqn: =52]

12. 도형의 방정식

정답 ①

[eqn: |` x+y `|` + `|` x-y `|` = 1]의 그래프를 그려 보자.

(ⅰ) [eqn: x+y ≥0], [eqn: x-y≥0]일 때,

[eqn: x+y+x-y=1]

[eqn: therefore~x= 1over2]

(ⅱ) [eqn: x+y≥0], [eqn: x-y<0]일 때,

[eqn: x+y-x+y=1]

[eqn: therefore~ y= 1over2]

(ⅲ) [eqn: x+y<0], [eqn: x-y≥0]일 때,

[eqn: -x-y+x-y=1]

[eqn: therefore~y= - 1over2]

(ⅳ) [eqn: x+y<0], [eqn: x-y<0]일 때,

[eqn: -x-y-x+y=1]

[eqn: therefore~x= - 1over2]

좌표평면에 나타내면 다음 그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 1]

인 정사각형이다.

[eqn: x^2 - 6x + y^2 - 6y = k]라 하면

[eqn: (x-3)^2 +(y-3)^2 = 18+ k]    …… ㉠

㉠은 중심이 점 [eqn: (3,~3)]이고 반지름의 길이가 [eqn: sqrt{18+k}]인

원이고, 이 원이 다음 그림과 같이 점 [eqn: rm A left( - 1over2 ,~ - 1over2 right)]을 지날 때 반지름의 길이가 최대가 된다.

[eqn: x=- 1over2], [eqn: y=- 1over2]을 ㉠에 대입하면

[eqn: left( - 1over2 - 3 right) ^2 + left( - 1over2 - 3 right) ^2 = 18+k]

[eqn: 49over4 + 49over4 - 18 =k]

[eqn: therefore~ k= 49over2 - 36over2 = 13over2]

13. 수열의 극한

정답 ②

[eqn: f(x) = sqrt {3x + 3} - 1]이라 하면

[eqn: f(a_1 ) = a_2], [eqn: f(a_2 ) = a_3], …, [eqn: f(a_n ) = a_n+1]이므로

곡선 [eqn: y=f(x)]와 직선 [eqn: y=x]를 그려서 수열 [eqn: left{ a_n right}]의

특징을 알아낼 수 있다.

㉠ 위의 그림에서 [eqn: a_1 > a_2 > a_3 >cdots]이므로 모든 자연수

[eqn: n]에 대하여 [eqn: a_n > a_n+1]이다. (참)

㉡ 위의 그림에서 [eqn: a_1 =4]이고 [eqn: lim_{n-> inf} {a_n = 2}]이므로 ㉠에

해 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: 2< a_n <5]이다. (참)

㉢ [eqn: lim _{n -> inf} {left( 3 ^{sum _{k=1} ^{n} 1over 2^k } cdot 5 ^{1over2^n}right)}]에서

[eqn: sum _{k=1} ^{n} 1over 2^k = {1over2 left{ 1- left( 1over2 right)^n right}} over {1- 1over2 }}][eqn: = 1- 1over 2^n]이므로
[eqn: #lim _{n-> inf} {left( 3 ^{sum _{k=1} ^{n} 1over 2^k } cdot 5 ^{1over2 ^n} right)}][eqn: #= lim_{n -> inf}{left( 3 ^{1- 1over2^n}cdot 5^{1over2^n}right)}]
[eqn: #= 3cdot 5^0 = 3]

이고, [eqn: lim_{n -> inf} {a_n} =2]이므로

[eqn: lim_{n-> inf}{a_n } != lim_{n-> inf}{left( 3 ^{sum _{k=1} ^{n} 1over 2^k } cdot 5 ^{1over2 ^n} right)] (거짓)

따라서 옳은 것은 ㉠, ㉡이다.

14. 지수와 로그

정답 ④

[eqn: f(r) = 1over 1-r]이므로

[eqn: left|`` f(-0.1) - 1 - sum_{k=1}^{n} (-0.1)^k `` right |``<10^-7]

[eqn: left|`` 1over1-(-0.1) - 1 - {(-0.1)left{1-(-0.1)^n right}}over 1-(-0.1) `` right |``<10^-7]

[eqn: left|``{1-1.1+0.1+(-0.1)^n+1}over 1.1 `` right |``<10^-7]

[eqn: left|``(-0.1)^n+1 over 1.1 `` right |``<(0.1)^7]

[eqn: left|``(-0.1)^n+1 `` right |``<1.1times (0.1)^7]

[eqn: therefore~ n+1≥7]

따라서 [eqn: n≥6]이므로 가장 작은 자연수 [eqn: n]의 값은 6이다.

15. 함수

정답 ①

㉠ [eqn: f(x) = ax+b], [eqn: g(x) = mx + n]

[eqn: a != m]이면 [eqn: y=f(x)], [eqn: y=g(x)]의 그래프는

기울기가 다른 두 직선이므로 한 점에서 만난다.

[eqn: therefore~d(f,~g)=0] (참)

㉡ 【반례】 [eqn: f(x) = 1], [eqn: g(x) = x], [eqn: h(x) = -x]라 하면

[eqn: g(x) + h(x) = 0]이므로

직선 [eqn: y=f(x)]와 직선 [eqn: y=g(x) +h(x)]는 평행하고,

직선 [eqn: y=f(x)]와 직선 [eqn: y=g(x)], 직선 [eqn: y=f(x)]와

직선 [eqn: y=h(x)]는 각각 한 점에서 만난다.

즉, [eqn: d(f,~g+h) = 1], [eqn: d(f,~g) = 0],

[eqn: d(f,~h) = 0]이므로

[eqn: d(f,~ g+h) > d(f,~g) + d(f,~h)] (거짓)

㉢ 【반례】 [eqn: f(x) = x+2], [eqn: g(x) = x], [eqn: h(x) = 1]이라

하면

[eqn: d(f,~h) = 0]이므로

[eqn: d(f,~ g) cdot d(f,~h) = 0]이고,

[eqn: g(x)h(x) = x]이므로 그래프는 직선 [eqn: y=f(x)]와

평행하다.

이때, [eqn: d(f,~gh) = sqrt2]이므로

[eqn: d(f,~ gh)>d(f,~g) cdot d(f,~ h)] (거짓)

따라서 옳은 것은 ㉠이다.

16. 수와 연산

정답 ③

[eqn: X it (A,~B)][eqn: = left{ i^m + left( 1over i right)^k ``right|`` m in A ,~ k in B right}]

[eqn: = left{ i ^m + (-i)^k ``left| `` m in A ,~ k in B ` right}]

㉠ [eqn: A = left{ 1 right}], [eqn: B= left{ 1,~2 right}]이므로

[eqn: m=1], [eqn: k=1]일 때, [eqn: i+(-i) = 0]

[eqn: m=1], [eqn: k=2]일 때, [eqn: i+(-i)^2 = i-1]

[eqn: therefore~X (A,~ B) = left{ 0,~ -1 + i right}] (참)

㉡ [eqn: n(A) cdot n(B)]는 순서쌍 [eqn: (m, ``k)]의 개수이고,

[eqn: i+ (-i)^2 = i^2 + (-i)^3 = -1+i]와 같이

[eqn: i^m + (-i)^k]은 [eqn: m,~k]의 값이 다른 경우라도 같은

수가 나올 수 있으므로 [eqn: n( X it (A,~B))]는

[eqn: n(A) cdot n(B)]보다 작거나 같다.

즉, [eqn: n(X it(A,~B))≤n(A)n(B)] (참)

㉢ [eqn: A=B=left{1,~2,~3,~4 right}]일 때 [eqn: n( X it (A,~B))]가

최대가 되므로 이때의 [eqn: X it(A,~B)]의 원소를 구해 보자.

[eqn: m=1]일 때,

[eqn: i+(-i) = 0]

[eqn: i+(-i)^2 = -1 + i]

[eqn: i+(-i)^3 = i + i=2i]

[eqn: i+(-i)^4 = 1+i]

[eqn: m=2]일 때, [eqn: i^2 = -1]이므로

[eqn: i^2 + (-i) = -1-i]

[eqn: i^2 + (-i) ^2 = -1-1 = -2]

[eqn: i^2 + (-i) ^3 = -1+i]

[eqn: i^2 + (-i)^4 = -1+1=0]

[eqn: m=3]일 때, [eqn: i^3 = -i]이므로
[eqn: i^3 + (-i) = -i-i = -2i]

[eqn: i^3 + (-i)^2 = -i-1]

[eqn: i^3 + (-i)^3 = -i + i=0]

[eqn: i^3 + (-i)^4 = -i +1]

[eqn: m=4]일 때, [eqn: i^4 = 1]이므로

[eqn: i^4 + (-i) = 1-i]

[eqn: i^4 + (-i)^2 =1-1=0]

[eqn: i^4 + (-i)^3 = 1+i]

[eqn: i^4 + (-i)^4 =1+1=2]

[eqn: therefore~ X it(A,~B)][eqn: = left{-2,~0,~2, ~-1-i,~-1+i,]

[eqn: ~1-i,~1+i,~-2i,~2i right}]

따라서 [eqn: n( X it (A,~B))]의 최댓값은 [eqn: 9]이다. (거짓)

따라서 옳은 것은 ㉠, ㉡이다.

17. 지수함수와 로그함수

정답 ②

[eqn: 7^{log_3 x} cdot x^{log_3 5x} = 1]의 양변에 밑이 [eqn: 3]인 로그를 취하면

[eqn: log_3 (7^{log_3 x} cdot x ^{log_3 5x}) = log_3 1]

[eqn: log_3 7 ^{log_3 x} + log_3 x ^{log_3 5x} = 0]

[eqn: (log_3 x)(log_3 7) + (log_3 5x)(log_3 x) = 0]

[eqn: (log_3 x)(log_3 7) + (log_3 5+log_3 x)(log_3 x) = 0]

[eqn: (log_3 x)^2 + (log_3 5 + log_3 7) log_3 x = 0]

[eqn: (log_3 x)(log_3 x + log_3 35) = 0]

[eqn: therefore~ log_3 x = 0] 또는 [eqn: log_3 x = - log_3 35]

[eqn: log_3 x = 0]에서 [eqn: x=1]

[eqn: log_3 x = -log_3 35]에서

[eqn: -log_3 35 = log_3 1over35]이므로  [eqn: x= 1over35]

따라서 두 근의 합은 [eqn: 1+ 1over35 = 36over35]이므로

[eqn: p+q = 35 + 36 = 71]

18. 확률

정답 ②

[eqn: 3]의 배수인 세 자리 자연수를 작은 수부터 차례로

나열하면 첫째항은 [eqn: 102], 끝항은 [eqn: 999]이고, 공차가 [eqn: 3]인

등차수열을 이룬다.

[eqn: 999 = 102 + (n-1)cdot3]에서 [eqn: n=300]이므로 [eqn: 3]의 배수

인 세 자리 자연수는 총 [eqn: 300]개이다.

또한 [eqn: 3]의 배수는 각 자리의 숫자의 합이 [eqn: 3]의 배수이므로

어느 한 자리에 [eqn: 9]가 포함된 [eqn: 3]의 배수는 나머지 두 자리

수의 합이 [eqn: 3]의 배수이다.

이때, [eqn: 9]를 제외한 두 자리 수를 순서쌍으로 나타내면

합이 [eqn: 0]인 경우 [eqn: (0,~0)]

합이 [eqn: 3]인 경우 [eqn: (0,~3)], [eqn: (1,~2)]

합이 [eqn: 6]인 경우 [eqn: (0,~6)], [eqn: (1,~5)], [eqn: (2,~4)], [eqn: (3,~3)]

합이 [eqn: 9]인 경우 [eqn: (0,~9)], [eqn: (1,~8)], [eqn: (2,~7)], [eqn: (3,~6)], [eqn: (4,~5)]

합이 [eqn: 12]인 경우 [eqn: (3,~9)], [eqn: (4,~8)], [eqn: (5,~7)], [eqn: (6,~6)]

합이 [eqn: 15]인 경우 [eqn: (6,~9)], [eqn: (7,~8)]

합이 [eqn: 18]인 경우 [eqn: (9,~9)]

위의 각 경우에 [eqn: 9]를 포함시켜 [eqn: 3]의 배수인 세 자리의

자연수를 구하면

(ⅰ) [eqn: (0,~ 0,~ 9)], [eqn: (9,~ 9,~ 9)]인 경우

[eqn: 900,~999]의 [eqn: 2]개

(ⅱ) [eqn: (0,~ 9,~ 9)]인 경우

[eqn: 990,~909]의 [eqn: 2]개

(ⅲ) [eqn: (0,~ 3,~ 9), ~(0,~6,~9)]와 같이 [eqn: 0]이 포함되고 각 자리

수가 다른 경우

[eqn: (2 times 2 times 1 ) times 2 = 8](개)

(ⅳ) [eqn: (1,~ 2,~ 9)]와 같이 [eqn: 0]이 포함되지 않고 각 자리 수가

다른 경우

[eqn: 0]이 포함되지 않고 각 자리 수가 다른 경우가 총

[eqn: 10]가지이므로

[eqn: (3times 2times 1 ) times 10 = 60](개)

(ⅴ) [eqn: (3,~ 3,~ 9)]와 같이 같은 수가 [eqn: 2]개 포함된 경우

같은 수가 [eqn: 2]개 포함된 경우가 총 [eqn: 4]개이므로

[eqn: 3! over 2! times 4 = 12](개)

따라서 일의 자리의 수 또는 십의 자리의 수 또는 백의

자리의 수가 [eqn: 9]인 자연수의 개수가

[eqn: 2+2+8+60+12=84]이므로 구하는 확률은

[eqn: 84 over300 = 7over25]

19. 순열과 조합

정답 ②

[eqn: 8]월의 마지막 날은 [eqn: 31]일이므로 [eqn: 5]일을 순찰하면 [eqn: 26]일은

순찰하지 않는다. 이를 연이어 순찰하지 않으면서 [eqn: 5]일 순

찰하는 방법의 수는 순찰하지 않는 날 사이사이와 양 끝

에 순찰하는 날을 끼워 넣는 방법의 수와 같다.

즉, 순찰하지 않는 [eqn: 26]일 사이사이와 양 끝 [eqn: 27]군데 중

[eqn: 5]군데를 선택하는 경우의 수가 [eqn: rm {}_27 C_5]이므로 구하는 방법

의 수는 [eqn: rm {}_27 C_5]이다.

20. 확률분포와 통계적 추정

정답 ⑤

크기가 [eqn: n]인 표본을 복원추출하였을 때, 표본평균 [eqn: bar X]

의 분산은 [eqn: rm V it( bar {X`} ) = {\V (it X)} over n]이고, 문제에서

[eqn: rm V it( bar {X`} ) = 7 over 12]이므로

[eqn: {\V (it X)} over 3 = 17over12]

[eqn: therefore~ \V (it X) = 17over4]

한편, [eqn: \V( it X) = \E(it X^2 ) - left{ \E (it X)right}^2]에서

[eqn: \E( it X^2 )][eqn: = 0^2 times 1over3 + 3^2 times a + 6^2 times left( 2over 3 - a right)]
[eqn: =9a + 24 - 36a = 24 - 27a]

[eqn: \E (it X)][eqn: = 0 times 1over3 + 3 times a + 6 times left( 2over3 -a right)]
[eqn: = 3a + 4 - 6a = 4-3a]

이므로

[eqn: 17over4 = (24 - 27a ) - (4-3a)^2]

[eqn: 17over4 = 24-27a - (16- 24a + 9a^2 )]

[eqn: 17over4 = -9a^2 - 3a + 8]

[eqn: 36a^2 + 12a - 15=0]

[eqn: 12a^2 + 4a - 5= 0]

[eqn: (6a+5)(2a-1) = 0]

[eqn: therefore~a= 1over2 ~(because~a≥0)]

21. 수열의 극한

정답 ⑤

(다)에서 [eqn: log_a_n x + log_a_n+1 x = log``x]이므로 좌변을

상용로그로 바꾸면

[eqn: {log ``x }over { log a_n} + {log ``x}over {log a_n+1} = log``x]

[eqn: x!=1]이므로 양변을 [eqn: log``x]로 나누면

[eqn: 1 over {log a_n} + 1over {log a_n+1 } = 1]

[eqn: 1over {log a_n+1} = 1- 1over {log a_n}]

[eqn: therefore~log a_n+1 ={ log a_n }over{log a_n -1}]

[eqn: a_1 = 1over10]이므로

[eqn: log a_2 = {log 1over10} over {log 1over10 - 1 } = -1over-2 = 1over2]

[eqn: therefore~a_2 = 10 ^ {1over2}]

[eqn: log a_2 = 1over2]이므로

[eqn: log a_3 = {1over2}over{1over2 -1} = -1]

[eqn: therefore~a_3 = 10^-1 = a_1]

따라서 [eqn: a_1 = 10^-1], [eqn: a_2 = 10^ {1over2}], [eqn: a_3 = 10^-1], [eqn: a_4 = 10^{1over2}],

…이므로

[eqn: a_2n-1 a_2n = 10^-1 cdot 10^ {1over2} = 10^{- 1over2 }] [eqn: (n=1,~2,~3,~…)]

[eqn: therefore~b_n][eqn: = (a_1 a_2 ) ( a_3 a_4 ) cdots (a_2n-1 a_2n )]

[eqn: =left(10^{- 1over2}right )left(10^{- 1over2 }right )cdotsleft(10^{- 1over2 }right )]

[eqn: =left(10^{- 1over2 }right )^n]

따라서 수열 [eqn: left{b_n right}]은 첫째항이 [eqn: 10 ^{- 1over2 }], 공비가 [eqn: 10 ^{- 1over2 }]인

등비수열이므로

[eqn: sum_{n=1}^{inf} b_n][eqn: = {10^{- 1over2 }}over {1-10^{- 1over2 }}]

[eqn: = {1over sqrt10}over{1- 1over sqrt10}]

[eqn: = 1over {sqrt10 -1}]

[eqn: = {sqrt10 +1 }over9]

22. 행렬

정답 ④

(가), (나)에 의해 각 행과 각 열에는 [eqn: 0,~ 0,~1,~1]이 들

어 간다.

제 [eqn: 1]행이 [eqn: 1~1~0~0]인 경우 행렬의 개수를 구해 보자.

(ⅰ) 제 [eqn: 1]행, 제 [eqn: 2]행이 같은 경우

[eqn: left(matrix{ ``1``&``1``&``0``&``0`` # ``1``&``1``&``0``&``0`` #``0``&``0``&``1``&``1`` #``0``&``0``&``1``&``1`` }right)]

제 [eqn: 3]행과 제 [eqn: 4]행은 한 가지로 결정된다.

(ⅱ) 제 [eqn: 1]행과 제 [eqn: 2]행의 한 열만 [eqn: 1]로 같은 경우

[eqn: left(matrix{ ``1``&``1``&``0``&``0`` # ``1``&``0``&``1``&``0`` #``0``&````&`` ``&``1`` #``0``&`` ``&`` ``&``1`` }right)], [eqn: left(matrix{ ``1``&``1``&``0``&``0`` # ``1``&``0``&``0``&``1`` #``0``&`` ``&``1``&`` `` #``0``&`` ``&``1``&`` `` }right)],

[eqn: left(matrix{ ``1``&``1``&``0``&``0`` # ``0``&``1``&``1``&``0`` #`` ``&``0``&`` ``&`` 1`` #`` ``&``0``&`` ``&``1`` }right)], [eqn: left(matrix{ ``1``&``1``&``0``&``0`` # ``0``&``1``&``0``&``1`` #`` ``&``0``&``1``&`` `` #`` ``&``0``&``1``&`` `` }right)]

각 행렬에서 빈자리에   또는  을 넣을 수

[eqn: 1 atop0]

[eqn: 0 atop1]

[eqn: 0 atop1]

[eqn: 1 atop0]

있으므로 이 경우 행렬의 개수는 [eqn: 4 times 2 = 8]이다.

(ⅲ) 제 [eqn: 1]행과 제 [eqn: 2]행의 각 열에 같은 성분이 없는 경우

[eqn: left(matrix{ ``1``&``1``&``0``&``0``#``0``&``0``&``1``&``1`` #`` ``&`` ``&`` ``&`` `` #`` ``&`` ``&`` ``&`` `` }right)]

제 [eqn: 3]행이 결정되면 제 [eqn: 4]행은 한 가지로 결정되고,

제 [eqn: 3]행에 [eqn: 1,~1,~0,~0]을 배열하는 방법의 수는

[eqn: 4! over 2!2! = 6](가지)

이므로 이 경우 행렬의 개수는 [eqn: 6]이다.

따라서 (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의해 제 [eqn: 1]행이 [eqn: 1~1~0~0]인

행렬의 개수가 [eqn: 1+8+6=15]이고, 제 [eqn: 1]행의 배열이 다른

경우에도 각각 [eqn: 15]개의 행렬을 만들 수 있으므로 구하는

행렬의 개수는 [eqn: 4! over2!2! times 15 = 90](개)이다.

23. 순열과 조합

정답 ④

[eqn: 1~_- ~_- ~_- ~_- ~_-]인 경우 자연수의 개수는 [eqn: 5! = 120]

[eqn: 2~_- ~_- ~_- ~_- ~_-]인 경우 자연수의 개수는 [eqn: 5! = 120]

[eqn: 3~_- ~_- ~_- ~_- ~_-]인 경우 자연수의 개수는 [eqn: 5! = 120]

여기까지 자연수의 개수가 [eqn: 120 times 3 = 360]이므로

[eqn: 450]번째 항은 첫 번째 자리의 수가 [eqn: 4]이다.

[eqn: 4~0~_- ~_- ~_- ~_-]인 경우 자연수의 개수는 [eqn: 4! = 24]

[eqn: 4~1~_- ~_- ~_- ~_-]인 경우 자연수의 개수는 [eqn: 4! = 24]

[eqn: 4~2~_- ~_- ~_- ~_-]인 경우 자연수의 개수는 [eqn: 4! = 24]

여기까지 자연수의 개수가 [eqn: 360+24times 3 = 432]이므로

[eqn: 450]번째 항은 두 번째 자리의 수가 [eqn: 3]이다.

[eqn: 4~3~0~_- ~_- ~_-]인 경우 자연수의 개수는 [eqn: 3! = 6]

[eqn: 4~3~1~_- ~_- ~_-]인 경우 자연수의 개수는 [eqn: 3! = 6]

[eqn: 4~3~2~_- ~_- ~_-]인 경우 자연수의 개수는 [eqn: 3! = 6]

여기까지 자연수의 개수가 [eqn: 432+6 times 3 = 450]이므로

[eqn: 450]번째 항은 [eqn: 432]로 시작하는 [eqn: 6]자리 자연수 중 가장 큰

수인 [eqn: 432510]이다.

24. 지수함수와 로그함수

정답 ⑤

[eqn: f(x)][eqn: = log_2 (x^2 + x+1) - log_2 x]

[eqn: = log_2 {x^2 + x+1 }over x]

[eqn: = log_2 left( x+1 + 1over x right)]

에서 [eqn: x≥1]일 때 [eqn: x+1 + 1over x ≥ 3]이므로

[eqn: f(x) = log_2 left(x+1+ 1over x right) >1]

따라서 [eqn: left[f(x) right]=left[ log_2 left( x+1 + 1over x right) right] = k]([eqn: k]는 자연수)라

하면

[eqn: k ≤ log_2 left( x+1+ 1over x right )< k+1]

[eqn: 2^k ≤ x+1 + 1over x < 2^ k+1]

[eqn: therefore~2^k - 1 ≤ x+ 1over x < 2 ^ k+1 - 1]

[eqn: k=1]일 때, [eqn: 1≤x + 1over x < 3]이므로 자연수 [eqn: x]는

[eqn: 1,~2]의 [eqn: 2]개

[eqn: k=2]일 때, [eqn: 3≤ x+ 1over x < 7]이므로 자연수 [eqn: x]는

[eqn: 3,~4,~5,~6]의 [eqn: 4]개

[eqn: k=3]일 때, [eqn: 7≤ x + 1 over x < 15]이므로 자연수 [eqn: x]는

[eqn: 7,~ 8 ,~ cdots,~ 14]의 [eqn: 8]개

[eqn: VDOTS]

[eqn: k=9]일 때, [eqn: 511≤ x + 1 over x < 1023]이므로 자연수 [eqn: x]는

[eqn: 511,~ 512,~ cdots,~ 1022]의 [eqn: 512]개

이때, [eqn: k=[`f(x)`]]이므로

[eqn: [`f(1)`] + [`f(2)`] + …+ [`f(1022)`]]

[eqn: =1 TIMES 2+2 TIMES 2 ^{2} +3 TIMES 2 ^{3} + CDOTS +9 TIMES 2 ^{9}]

[eqn: S = 1times 2 + 2times 2^2 + 3times 2^3 + cdots + 9times 2^9]      …… ㉠

이라 하면

[eqn: 2S=][eqn: 1 TIMES 2 ^{2} +2 TIMES 2 ^{3} +3 TIMES 2 ^{4} + CDOTS +8 TIMES 2 ^{9} +9 TIMES 2 ^{10}]

…… ㉡

이므로 [eqn: ㉠-㉡]을 하면

[eqn: -S =][eqn: 2+2^2 + 2^3 +cdots + 2^9 - 9 times 2 ^10]

[eqn: ={ 2(2^9 -1)}over 2-1 - 9 times 2 ^10]

[eqn: therefore~S][eqn: = - {2 (2^9 -1 ) }over 2-1 + 9times 2^10]

[eqn: = 9times 2^10 - 2^10 + 2]

[eqn: = 8times 2 ^10 + 2## = 2 ^13 + 2]

25. 수학적 기초

정답 ②

사각형 [eqn: rm ABCD]의 넓이에서 삼각형들의 넓이를 빼서 수사

망의 넓이를 구하자.

(ⅰ) 삼각형 [eqn: rm CEI]와 삼각형 [eqn: rm BHO], 삼각형 [eqn: rm AGM], 삼각형

[eqn: rm DFK]는 모두 합동이고, 삼각형 [eqn: rm CEI]의 밑변 [eqn: rm CE]의

길이가 [eqn: 1], 높이가 [eqn: 1]이므로

[eqn: rm triangle CEI + triangle BHO + triangle AGM + triangle DFK]

[eqn: =4 times 1over2 times 1 times 1 = 2]

(ⅱ) 삼각형 [eqn: rm BDC]에서 삼각형

[eqn: rm BDC]의 무게중심이 [eqn: rm P]이

므로 삼각형 [eqn: rm BEP]의

넓이는 삼각형 [eqn: rmBCD]의

넓이의 [eqn: 1over6]이다.

[eqn: rm therefore~triangle BEP = 1over 6 times triangle BCD]

[eqn: = 1over6 times 1over 2 times 2 times 2 = 1over3]

이때, 삼각형 [eqn: rm BEP]와 삼각형 [eqn: rm CFJ], 삼각형 [eqn: rm DGL], 삼

각형 [eqn: rm AHN]은 모두 합동이므로

[eqn: rm triangle BEP + triangle CFJ + triangle DGL + triangle AHN]

[eqn: = 4times 1over3 = 4over3]

따라서 새로운 수사망의 넓이는

(팔각형 [eqn: rm IJKLMNOP]의 넓이)[eqn: = 2times 2 - left( 2 + 4over3 right)]
[eqn: #= 4- 10over3 = 2over3]

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