1.

2007학년도 대학수학능력시험 6월 모의평가 (수리영역-가형)  정답 및 해설

(주어진 식)[eqn: = left( 3 ․ 3^ {2over3} right) ^{3over5}`][eqn: = left( 3^{5over3} right)^{3 over 5}`][eqn: =3^1 = 3`]

ꂼ ③

2. [eqn: A= pmatrix{``1~~1``#``2~~4``}]에서

[eqn: A^-1 = 1 over 2 pmatrix{~~4``&-1``#-2&~~1``}]

∴ [eqn: A+ 2 A^-1][eqn: =pmatrix{``1~~1``#``2~~4``}+ pmatrix{~~4``&-1``#-2&~~1``}]

[eqn: =pmatrix{``5~~0``#``0~~5``}]

ꂼ ⑤

3. 함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: x=2]에서 연속이므로

[eqn: f(2)=lim from { x -> 2 } f(x)]이어야 한다.

[eqn: f(2)= 2^2 +2+a=6+a]

[eqn: lim from { x -> 2 } f(x) = lim from { x -> 2 }(x+b) = 2+b]

에서 [eqn: `6+a=2+b]

[eqn: ∴```a-b = 2-6 =-4]

ꂼ ①

4. 두 함수 [eqn: f(x)=x^4 -4x +a]와

[eqn: g(x)=-x^2 +2x-a]를 연립하여 정리하면

[eqn: x^4 +x^2 -6x +2a =0]

[eqn: h(x)= x^4 +x^2 -6x +2a]라 하면

[eqn: h'(x)= 4x^3 +2x -6]

[eqn: = (x-1)(x^2 +4x+6)]

이므로 [eqn: x=1]에서[eqn: h(x)]의  극소값만

존재한다.

그런데 두 함수[eqn: f(x)]와[eqn: g(x)]의 그래프 의 교점이 한 개이므로 [eqn: h(x)]의 그래프는

오른쪽 그림과 같이

1

[eqn: x]

[eqn: y]

O

[eqn: x]축과  한 점에서

만나야 한다.

따라서[eqn: h(1)=0]

[eqn: h(1)= 1 +1 -6 +2a = 0]

[eqn: ∴````a=2]

ꂼ ②

5.  [eqn: x^3 +(a+1)x^2 +2ax +a]

[eqn: = (x+1)(x^2 +ax+a)`<0]

해가 [eqn: x` <` -1]이기 위해서는

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 항상

[eqn: x^2 +ax+a`>=0]이어야한다.

따라서 판별식 [eqn: D<=0]

[eqn: D= a^2 -4a = a(a-4)<=0]

[eqn: 0<=`a`<=4]

[eqn: ∴]([eqn: a]의 최소값 ) = 0

ꂼ ④

6. [eqn: g(x)+h(x) = cases{0 ```````(x<=0) #`0```````(0<x<=1) #`0```````(1<x<=2) #`2```````(x>2) `}]

[eqn: g(x)h(x) = cases{0 ````````````````(x<=0) #`-1```````(0<x<=1) #`0`````````````````(1<x<=2) #`1`````````````````(x>2) `}]

[eqn: LEFT |h(x) RIGHT | = cases{0 ```````(x<=0) #`1```````(0<x<=1) #`0```````(1<x<=2) #`1```````(x>2) `}]

[eqn: a_1 = N(g+h)=1 , ````` a_2 = N(gh)= 3]

[eqn: a_3 = N(LEFT | h RIGHT |) = 3]

[eqn: ∴```a_1 `< ``a_2`=`a_3]

ꂼ ②

7. ㄱ.[eqn: lim from { x -> +0 } g(x) = lim from { x -> +0 } LEFT ( { 1} over {2 }x-1 RIGHT ) = -1]

(거짓)

ㄴ. [eqn: f(0)=a ```(a>3)]이라 하면

[eqn: g(f(0)) =g(a)]

[eqn: g(x)]는 [eqn: x>3]에서 연속이므로

[eqn: lim from { x -> 0 } g(f(x)) = lim from { k ->a } g(k`) = g(a)]

따라서[eqn: lim from { x ->0 } g(f(x)) = g(f(0))]이므로

함수[eqn: g(f(x))]는[eqn: x=0]에서 연속이다.

(참)

ㄷ.[eqn: h(x)=g(f(x))]라고 하면

[eqn: h(-3)=g(f(-3)) = g(1) = -{ 1} over {2 }]

[eqn: h(3)=g(f(3)) = g(3) ={ 1} over {2 }]

[eqn: h(-3)h(3) <0]이므로[eqn: h(x)]의 그래프는 폐구간 [-3, 3]에서 [eqn: x]축과 적어도

한 점에서 만난다.

따라서 방정식 [eqn: g(f(x))=0]은  폐구간  [-3, 3]에서 적어도 하나의 실근을 가진다.

(참)

이상에서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ

ꂼ ④

8. 수조에 가득 채워진 물의 양을 1이라고

하면 단위 시간당 급수하는 물의 양은

[eqn: { 1} over {45 }]

한편 물을 빼내어 수조의 물의 양이 전체    용량의[eqn: { 1} over {2 }]이 되는데 걸리는 시간을

[eqn: t]분이라 하면 단위 시간당 빼내는 물의   양은 [eqn: { 1} over {2t }]

따라서 90분 중 [eqn: t]분 동안[eqn: { 1} over {2 }]의 물을 빼내고  90-t 분 동안 물을 빼내면서 동시에 급수를 하여 수조에 물을 가득 채웠으므로

[eqn: { 1} over {2 } + (90-t`)LEFT ( { 1} over {45 } - { 1} over { 2t} RIGHT )=1]

[eqn: (90-t`) { 2t-45} over {90t } ={ 1} over {2 }]

[eqn: (90-t)(2t-45)=45t]

[eqn: 2t^2 -180t + 4050 =0]

[eqn: (t-45)^2 = 0 ,````````t=45]

따라서 전체의 물을 모두 빼내는데 걸리는 시간은 [eqn: 2t=90](분) 이므로 1시간 30분이다.

ꂼ ④

9. ㄱ. (반례)

[eqn: f(x)= x^2 +2x]라 하면 [eqn: f(0)=0]

[eqn: f`'(x)= 2x +2]이므로 [eqn: f`'(0)=2 ≠`0]

(거짓)

ㄴ. 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: g(x)=g(-x)]이므로 [eqn: g(x)]는 우함수    따라서 [eqn: g '(x)]는 기함수이고

모든 기함수의 그래프는 원점에 대칭이므    로 반드시 원점을 지난다.

[eqn: ∴```g`'(0) =0]    (참)

ㄷ. 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: 0<=LEFT | h(2x)-h(x) RIGHT | <=x^2] 이므로 양변을

[eqn: LEFT |` x` RIGHT |]로 나누면

[eqn: 0<=LEFT |{ h(2x)-h(x) } over{ `x` } RIGHT | <= {x^2} over{ LEFT | x RIGHT |}]

[eqn: 0<= lim from { x ->0 }LEFT |{ h(2x)-h(0) } over{ `2x-0` } ⋅2 -{ h(x)-h(0) } over{ `x`-0 } RIGHT | <= lim from { x ->0 } {x^2} over{ LEFT | x RIGHT |}]

[eqn: 0`<= LEFT | 2h'(0) - h'(0)` RIGHT | <=0]

[eqn: 0`<= h'(0)` <=0]

[eqn: ∴```h`'(0) =0]    (참)

이상에서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ

ꂼ ⑤

10. (나)에서 [eqn: f_1 '(0) = lim from {x ->0 } { f_1 (x)+2kx} over { f_1 (x)+kx }]

[eqn: = lim from {x ->0 } { {f_1 (x)} over x +2k } over { {f_1 (x)} over x +k }]

[eqn: f_1 '(0) = lim from {x ->0 } { f_1 (x)-f _1 (0)} over { x-0 }]이므로

[eqn: f`' _1 (0)= { {f'_1 (0)} +2k } over { {f'_1 (0)} +k }]

[eqn: f`' _1 (0)= a]([eqn: a]는 실수 ) 라 하면

[eqn: a= { a +2k } over { a +k }],[eqn: a+2k=a^2 +ak] --㉠

같은 방법으로 [eqn: f`' _2 (0)= b]라 하면

[eqn: b= { b +2k } over { b +k }],[eqn: b+2k=b^2 +bk] --㉡

㉠ - ㉡에서

[eqn: a-b = (a-b)(a+b+k)]

(다)에서 [eqn: ab=-1]이므로 [eqn: a≠b]

[eqn: ∴```a+b=1-k] ------------ ㉢

또한

[eqn: ab= { a +2k } over { a +k } ⋅ { b +2k } over { b +k } =-1]

[eqn: 5k^2 +3(a+b)k-2=0]

위의 식에 ㉢을 대입하여 정리하면

[eqn: 2k^2 +3k-2= (2k-1)(k+2)=0]

[eqn: k= { 1} over {2 } ,```-2]

그런데[eqn: k=-2]이면[eqn: a, ``b]는 실수가 아니다.     [eqn: ∴````k= { 1} over {2 }]

ꂼ ①

11.[eqn: { 2} over {6 } ×{ 1} over {2 } + { 4} over {6 } ×{ 1} over {2 }×{ 1} over {2 }×{ 1} over {2 }]

[eqn: = { 1} over {6 } + { 1} over {12 } = { 1} over {4 }]

ꂼ ⑤

12. [eqn: A pmatrix{``1``#``1``} + A^-1 pmatrix{``2``#``0``} = pmatrix{``0``#``0``}]의 양변에 [eqn: A^2`]을 곱하면

[eqn: A^2 A pmatrix{``1``#``1``} + A^2 A^-1 pmatrix{``2``#``0``} = A^2 pmatrix{``0``#``0``}]

[eqn: A^3 pmatrix{``1``#``1``} + A pmatrix{``2``#``0``} = pmatrix{``0``#``0``}]

∴ [eqn: A pmatrix{``2``#``0``} = -A^3 pmatrix{``1``#``1``}]

[eqn: =E pmatrix{``1``#``1``}] ([eqn: because A^3 + E= O])

[eqn: = pmatrix{``1``#``1``}]

∴ [eqn: a=1 ,~~ ~b=1`]

∴ [eqn: a+b = 2`]

ꂼ ②

13. ㄱ. 10과 99는 모두 두 자리의 자연수이므로 [eqn: log10 , ~log99`]의 지표는 1로 같다.

∴ [eqn: A_10 ="{" 10,~11,~12,~⋯,~99"}"`][eqn: =A_99] (참)

ㄴ. ㄱ에서 [eqn: n(A_10 )=90`]이다.

한편, 100은 세 자리의 자연수이므로

[eqn: A_100 = left{ 100,~101,~102,~⋯,~999right}`]

∴ [eqn: n(A_100 )=900`]

∴ [eqn: n(A_100 ) = 10 cdot n(A_10 )`] (참)

ㄷ. [eqn: A_p cap A_q !=phi`]이므로 [eqn: r INA_p cap A_q]라 하면 [eqn: r INA_p]이고 [eqn: r INA_q]이다.

따라서 ([eqn: log r`]의 지표)[eqn: =]([eqn: log p`]의 지표)이고

([eqn: log r`]의 지표)[eqn: =]([eqn: log q`]의 지표)이므로

([eqn: log p`]의 지표)[eqn: =]([eqn: log q`]의 지표)이다.

∴ [eqn: A_p = A_q`] (참)

ꂼ ⑤

14. 첫째 해의 연봉 : [eqn: a`] 원

[eqn: 2`]년째 해의 연봉 : [eqn: a(1+0.08)]원

[eqn: 3`]년째 해의 연봉 : [eqn: a(1+0.08)^2]원

[eqn: cdots]

[eqn: 19`]년째 해의 연봉 : [eqn: a(1+0.08)^18]원

[eqn: 20`]년째 해의 연봉 : [eqn: 2 over 3 a (1+0.08)^18`]

따라서 이 회사에 입사한 사람이 [eqn: 28`]년 동안 근무하여 받는 연봉의 총합은

[eqn: a+ a times 1.08 + a times 1.08^2 + a times 1.08^3]

[eqn: + cdots + a times 1.08^17 + a times 1.08^18]              [eqn: + 2 over 3 a times 1.08^18 times 9]

[eqn: = a + {a times 1.08 (1.08^18 - 1)} over { 1.08 - 1} + 6 a times 1.08^18]

[eqn: = a + {a times 1.08 (4 - 1)} over { 0.08} + 6 a times4]

[eqn: =25 a + 81 over 2 a]

[eqn: = 131 over 2 a `]

ꂼ ④

15. 12명을 4명씩 A, B, C의 세 조로 나눈다고 하자.

각 지역에서 선발된 3명을 세 조에 한 명씩 배치하는 경우의 수는 각각 [eqn: 3 ! = 6`]이므로

4지역의 12명을 모두 배치하는 경우의 수는 [eqn: 6^4`]이다.

그런데, 세 조 A, B, C는 서로 구별되지 않으므로 구하는 경우의 수는

[eqn: 6^4 over 3! = 6^3 = 216`]

ꂼ ③

16.  [eqn: l_1 = a over {cos 30DEG} = 2 over root3 a `]

[eqn: l_n+1 = l_n over{ cos 30DEG}]

∴ [eqn: l_n+1 over l_n = 1over {cos 30 DEG}][eqn: = 2 over root3`]

따라서 수열 [eqn: left{ l_n right}]은 첫째항이 [eqn: 2over root3 a `]이고 공비가 [eqn: 2 over root3]인 등비수열이므로

[eqn: l_n = 2 over root3 a cdot left( 2 over root3 right)^n-1]

[eqn: =a left( 2 over root3 right)^n]

∴ [eqn: SUM_n=1 ^inf 1 over l_n = SUM_n=1 ^inf 1 over {a left( 2 over root3 right)^n}]

[eqn: = 1 over a SUM_n=1 ^inf left( root3 over 2 right)^n]

[eqn: = 1over a cdot { root3 over 2 } over{ 1- root3 over 2 }][eqn: = 1over a cdot { root3 } over{ 2- root3 }]

[eqn: ={2root3 +3} over a][eqn: = root3`]

∴ [eqn: a= 2 + root3`]

ꂼ ③

17. [eqn: 2+3․2 + ⋯+n(n-1)`]

[eqn: =2(2-1) + 3(3-1)+⋯+n(n-1)`]

[eqn: =1^2 + 2^2 +3^2 +⋯+n^2 - (1+ 2+3+⋯+n)`]

[eqn: = {n(n+1)(2n+1)} over 6 - n(n+1) over 2`]

∴ (가) [eqn: = {n(n+1)(2n+1)} over 6]

[eqn: { 2d left{ {n(n+1)(2n+1)} over 6 - n(n+1) over 2` right}} over n(n+1)]

[eqn: ={ 2d left{{2n+1} over 6 - 1 over 2` right}}]

[eqn: ={2d(2n+1-3)} over6`= 2 over 3 d (n-1)]

∴ (나)[eqn: = 2 over 3 d`]

[eqn: {a_1 +2a_2 +⋯+ na_n} over {1+2+⋯+(n+1)}`]

[eqn: = {1+2+⋯+n} over{1+2+⋯+(n+1)} cdot {a_1 +2a_2 +⋯+ na_n} over {1+2+⋯+n}]

[eqn: = { n(n+1) over 2} over {{(n+1)(n+2)} over 2 } cdot b_n `]

[eqn: = n over n+2 cdot b_n`]

∴ (다)[eqn: = n over n+2`]

ꂼ ①

〔참고〕

주어진 증명을 완성하면 다음과 같다.

[eqn: b_n+1 = n over n+2 b_n + 2 over n+2 a_n+1`]

[eqn: = left( 1 - 2 over n+2 right) b_n + 2over n+2 a_n+1`]

[eqn: = b_n - 2 over n+2 b_n + 2over n+2 a_n+1`]

∴ [eqn: b_n+1 - b_n = 2 over n+2 (a_n+1 -b_n )`] ⋯ ㉠

그런데, 등차수열 [eqn: "{"b_n"}"`]의 첫째항을 [eqn: a'`], 공차를 [eqn: d'`]이라 하면 [eqn: b_n+1 - b_n = d'`]이므로 ㉠에서

[eqn: d' = 2 over n+2 (a_n+1 - b_n )`]

∴ [eqn: a_n+1 = d' over 2 (n+2) +b_n`]

[eqn: = d' over 2 (n+2) + a'+(n-1)d'`]

[eqn: = left( a' + 3 over 2 d' right) + 3over 2 d'(n-1)]

따라서 수열 {[eqn: a_n+1]}은

[eqn: a_2 = a' + 3over 2 d'`]이고 공차가 [eqn: 3over 2 d'`]인 등차수열이다.

그런데, [eqn: a_1 = b_1][eqn: =a'`]이므로 수열 [eqn: "{"a_n "}"`]은 첫째항이 [eqn: a'`], 공차가 [eqn: 3 over 2 d'`]인 등차수열이다.

18. [eqn: f(x)=x^3 +ax^2 +9x+b]에서

[eqn: f`'(x)=3x^2 +2ax +9]

[eqn: f(1)=0,```f`'(1)=0]이므로

[eqn: f(1)=1 +a +9+b =0]

[eqn: f`'(1)=3 +2a +9 =0]

위의 두 식에서 [eqn: a=-6,```b=-4]

[eqn: ∴```ab=24]

ꂼ 24

19. [eqn: x^2 -12x +3 = t``]라 하면 주어진 방정식은

[eqn: t``-3 + root t`` = 3`]

[eqn: root t = 6-t``] [eqn: cdots㉠`]

양변을 제곱하면 [eqn: t`` = 36-12t``+ t``^2`]

[eqn: t``^2 -13t``+36=0`]

[eqn: (t``-4)(t``-9)=0`]

㉠에서 [eqn: 0<=t``<=6`]이므로 [eqn: t``=4`]

[eqn: x^2 -12x +3 = 4`]에서

[eqn: x^2 -12x -1=0`]

따라서, 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여

구하는 모든 근의 합은 [eqn: 12`]이다.

ꂼ [eqn: 12`]

20. 9개의 정사각형 중 3개를 택하여 색칠하는 경우의 수는

[eqn: `_9 C_3 = 84`] (가지)

유형1의 모양으로 색칠하는 경우의 수는

[eqn: 6`](가지)

유형2의 모양으로 색칠하는 경우의 수는

[eqn: 4×4 =16`](가지)

유형3의 모양으로 색칠하는 경우의 수는

[eqn: 84 - (6+16) = 62`](가지)

이므로 [eqn: P(X=1) = 6 over 84 = 3 over 42`],

[eqn: P(X=2) = 16 over 84 = 4 over 21`],

[eqn: P(X=3) = 62 over 84 = 31 over 42`]

∴ [eqn: E(X) = 1 × 3 over 42 + 2 × 4 over 21 + 3 × 31 over 42` = 56 over 21`]

∴ [eqn: E(42 X) = 42 E(X) = 42 × 56 over 21 = 112`]

ꂼ [eqn: 112`]

21. [eqn: |x`|`>1`]일 때,

[eqn: f``(x) = lim_n->inf``{2x^2 + 1over x^2n } over{ 1+ 2 over x^2n } = 2x^2`]

[eqn: x=1`]일 때, [eqn: f``(1) = 2+1 over 1+2 = 1`]

[eqn: x=-1`]일 때, [eqn: f``(-1) = 2+1 over 1+2 = 1`]

[eqn: |`x`|`<1`]일 때, [eqn: lim_n->inf``x^2n = lim_n->inf``x^2n+2 =0`]이므로

[eqn: f``(x) = 1over2`]

따라서, [eqn: y=f``(x)`]의 그래프는 다음과 같다.

[eqn: x`]

[eqn: y`]

[eqn: O`]

◦

[eqn: -1]

[eqn: 1]

[eqn: 1over2]

[eqn: 2]

[eqn: y=f``(x)]

[eqn: y=g(x)]

•

[eqn: 1]

•

◦

방정식[eqn: f``(x)= g(x)`]가 실근을 갖지 않으려면 두 함수[eqn: y=f``(x),`y=g(x)`]의 그래프가 만나지 않아야 한다.

[eqn: y=f``(x)`]의 그래프가 [eqn: y`]축에 대하여 대칭이므로

[eqn: g(x) = sin (k pi x )`]에서 [eqn: k>0`]으로 가정하여도 일반성을 잃지 않는다.

따라서, [eqn: g(1)`<= 1over2`]이고,

[eqn: g(x)`]의 주기는 4보다 커야 한다.

[eqn: g`(x)`]의 주기는 [eqn: 2pi over{`k pi`}` = 2 over k``]이므로

[eqn: 2over k`>4`]에서 [eqn: 0` < k < 1over2`] [eqn: cdots㉠`]

[eqn: g`(1) = 1over2`]에서 [eqn: sin k pi = 1over2`]

∴ [eqn: k = 1over6 , `5 over 6 , cdots`]

㉠에 의해 [eqn: k`= 1over6`]

따라서, [eqn: k`]의 최대값이 [eqn: 1over6`]이므로 [eqn: 60k`]의 최대값은 [eqn: 10`]이다.

ꂼ [eqn: 10`]

22. [eqn: {x(x-n)} over{ (x-1)(x+n-1)} `<= 0`]

⇔ [eqn: x(x-n)(x-1)(x+n-1)<=0`,]

[eqn: ``x ne 1 ,``x ne 1-n`]

(ⅰ) [eqn: n=1`]일 때,

[eqn: x(x-1)(x-1)x <=0`]에서 [eqn: x^2 (x-1)^2 <=0`]

[eqn: x ne 1`]이므로 [eqn: x = 0`]

즉, 주어진 부등식을 만족하는 정수[eqn: x`]의 값은 한 개이므로 부적절하다.

(ⅱ) [eqn: n ne 1`]일 때,

[eqn: x(x-n)(x-1)(x+n-1)<=0`]에서

[eqn: 0`]

[eqn: x`]

[eqn: 1`]

[eqn: 1-n]

[eqn: n]

◦

•

•

◦

[eqn: 1-n < x<= 0 ,```1< x<= n`]

이므로 정수[eqn: x`]의 개수는

[eqn: (n-1) + (n-1) = 2n-2`](개)

따라서, [eqn: 2n-2 = 100`]에서 [eqn: n= 51`]

ꂼ [eqn: 51`]

23. [eqn: f``(x+y) = f``(x)+ f``(y) + 2xy-1`]에서

[eqn: x=0 ,`y=0`]을 대입하면

[eqn: f``(0) = f``(0)+ f``(0) -1`]  ∴ [eqn: f``(0) = 1`]

[eqn: f``'(0)` = lim_h->0``{f``(h)- f`(0)} over h = lim_h->0 `{f``(h) -1} over h`]

이므로

[eqn: f``'(x) = lim_h->0 ``{ f``(x+h)-f``(x)} over h`]

[eqn: = lim_h->0 `{ f``(x)+f``(h) + 2xh-1 - f``(x)} over h`]

[eqn: = 2x + lim_h->0 { f``(h)-1} over h`]

[eqn: = 2x+f``'(0)`]  [eqn: cdots㉠`]

[eqn: lim_x->1 {f``(x) - f``'(x)} over {x^2 -1} = 14`]에서

[eqn: x->1`]일 때, (분모)[eqn: ->0`]이므로 (분자)[eqn: ->0`]이어야 한다.

∴ [eqn: f``(1) = f``'(1)`]

㉠에서 [eqn: f``'(1) = 2+ f``'(0)`]이므로

[eqn: f``'(0) = f``'(1) -2 = f``(1) -2`]

∴ [eqn: lim_x->1 {f``(x) - f``'(x)} over {x^2 -1} `]

[eqn: = lim_x->1 {f``(x) - 2x-f``'(0)} over {x^2 -1} `]

[eqn: = lim_x->1 {f``(x) - 2x-f``(1)+2} over {x^2 -1} `]

[eqn: = lim_x->1 {f``(x) -f``(1)} over {x^2 -1} `- lim_x->1 {2(x-1)} over {x^2 -1}`]

[eqn: = 1over2 f``'(1) - 1`]

[eqn: = 14`]

∴ [eqn: f``'(1) = 30`]

∴ [eqn: f``'(0) = f``'(1) - 2 = 28`]

ꂼ [eqn: 28`]

[다른풀이]

[eqn: f``(x+y) = f``(x)+ f``(y) + 2xy-1`]에서

[eqn: x=0 ,`y=0`]을 대입하면

[eqn: f``(0) = f``(0)+ f``(0) -1`]  ∴ [eqn: f``(0) = 1`]

[eqn: f``'(0) = k`]라 하면

[eqn: k` = lim_h->0``{f``(h)- f`(0)} over h = lim_h->0 `{f``(h) -1} over h`]

[eqn: f``'(x) = lim_h->0 ``{ f``(x+h)-f``(x)} over h`]

[eqn: = lim_h->0 `{ f``(x)+f``(h) + 2xh-1 - f``(x)} over h`]

[eqn: = 2x + lim_h->0 { f``(h)-1} over h`]

[eqn: = 2x+k`]

∴ [eqn: f``(x) = int`(2x+k )``dx` = x^2 + kx+C`]

[eqn: (C`]는 상수)

[eqn: f``(0) = 1`]이므로 [eqn: C=1`]

∴ [eqn: f``(x) = x^2 + kx+1`]

따라서, [eqn: f``'(x) = 2x+k`]이므로

[eqn: lim_x->1 {f``(x) - f``'(x)} over {x^2 -1}`= lim_x->1{ x^2 + kx+1 -2x-k } over {x^2 -1}`]

[eqn: = lim_x->1 { (x-1)^2 + k(x-1)} over{(x-1)(x+1)}`]

[eqn: = lim_x->1 { x-1+k} over x+1`]

[eqn: = k over 2`]

[eqn: = 14`]

∴ [eqn: k= 28`]

24. (i)[eqn: A, ~B`]를 포함하는 세트의 개수

[eqn: C`]를 제외한 [eqn: 5`]개의 과자에서 [eqn: 2`]개를 택하는 방법의 수이므로

[eqn: `_5 \C_2 = 10`] (가지)

(ii)[eqn: A, ~B`]를 포함하지 않는 세트의 개수

[eqn: A, B`]를 제외한 [eqn: 6`]개의 과자에서 [eqn: 4`]개를 택하는 방법의 수이므로

[eqn: `_6 \C_4 = `_6 \C_2 = { 6 times 5} over{ 2 times 1} = 15`](가지)

따라서 (i), (ii)에 의해 서로 다른 세트 상품을 만들 수 있는 방법의 수는

[eqn: 10+15 = 25`] (가지)

ꂼ [eqn: 25`]

25. [eqn: 50=20+180×3^{ - n over 256}`]이므로 [eqn: 3^{- n over 256} = 1 over 6`]

양변에 상용로그를 취하면

[eqn: - n over 256` log 3 = log 1over 6 = - log2 - log3 `]

∴ [eqn: n= {256(log2+log3) }over log3`]

[eqn: = {256×0.78} over 0.48`][eqn: =416`]

ꂼ 416

[미분과 적분]

26. [eqn: 3( 1- 2 sin^2 θ ) + 4root2 sin θ -3=0`]

[eqn: 6 sin^2 θ - 4root2 sin θ =0`]

[eqn: sin θ ( 6 sin θ - 4root2 `) =0`]

[eqn: 0< θ < pi over 2`]이므로 [eqn: sin θ `ne 0`]

∴ [eqn: sin θ = {2root2} over 3`]

[eqn: cos^2 θ = 1- sin^2 θ = 1- 8 over 9 = 1over9`]

[eqn: 0< θ < pi over 2`]에서 [eqn: cosθ >0`]이므로

[eqn: cos θ = 1over3`]

ꂼ ①

27. [eqn: y= sin x - left( sin x cos pi over 3 + cos x sin pi over 3 right)`]

[eqn: = sin x - left( 1over2 sin x + root3 over 2 cos x right)`]

[eqn: = 1over2 sin x - root3 over 2 cos x`]

[eqn: = sin left( x - pi over 3 right)`]

[eqn: x- pi over 3 = θ`]라 하면

[eqn: 0<= x<= pi`]이므로 [eqn: - pi over 3 <= θ <= 2over3 pi`]이다.

따라서, 함수[eqn: y= sin θ`]에서

[eqn: θ = pi over 2`]일 때 [eqn: y`]의 최대값은 1이고,

[eqn: θ = - pi over 3`]일 때 [eqn: y`]의 최소값은 [eqn: - root3 over 2`]이다.

∴ [eqn: M-m= 1- left( - root3 over 2 right) = {2+ root3 } over 2`]

ꂼ ⑤

28.

[eqn: lim_x->0 {f``(x)} over{ln (1+x)} = lim_x->0 { {f``(x)} over x } over{{ ln (1+x)} over x}= lim_x->0 {f``(x)} over x`]

이므로 [eqn: lim_x->0 `{f``(x)} over x = 1`]

ㄱ. [eqn: lim_x->0 `sinx over{ f``(x)} = lim_x->0 { sinx over x } over{ {f``(x)} over x }` = 1 over 1 = 1`] (거짓)

ㄴ. [eqn: lim_x->0 {f``(x)+x} over{ ln (1+x)} = lim_x->0 { {f``(x)} over x +1 } over{ {ln(1+x)} over x }`]

[eqn: = 1+1 over 1 = 2`] (참)

ㄷ. [eqn: lim_x->0 { f``(x)} over{ ln (1+x)} = 1`]에서 [eqn: x``->0`]일 때,

(분모)[eqn: -> 0`]이므로 (분자)[eqn: ->0`]이어야 한다.

∴ [eqn: lim_x->0 f``(x) = 0`]

∴ [eqn: lim_x->0 { left{ f``(x) right}^2 } over{ ln (1+x)} = lim_x->0 {f``(x)} over {ln (1+x)} cdot f``(x)`]

[eqn: = lim_x->0 {f``(x)} over {ln (1+x)} cdot lim_x->0 f``(x)`]

[eqn: = 1 cdot 0= 0`] (참)

따라서, 보기 중 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.

ꂼ ④

29. [eqn: 0<θ< pi over 4`]일 때,

[eqn: f``(θ ) = 1over2 ( cos θ - sinθ ) left( pi over4 - θ right)`]

[eqn: g(θ) = 1over2 left( pi over4 - θ right) left( root2 over 2 - sin θ right)`]이므로

[eqn: {f``(θ )} over {g(θ)} = { cosθ - sinθ } over{ root2 over2 - sinθ }`]

[eqn: pi over 4 < θ < pi over 2`]일 때,

[eqn: f``(θ ) = 1over2 ( sin θ - cosθ ) left( θ - pi over4 right)`]

[eqn: g(θ) = 1over2 left( θ - pi over4 right) left( sinθ - root2 over 2 right)`]이므로

[eqn: {f``(θ )} over {g(θ)}= { sinθ - cosθ } over{ sinθ - root2 over 2 } = { cosθ - sinθ } over{ root2 over2 - sinθ }`]

∴ [eqn: lim_{θ-> pi over4} {f``(θ )} over{g(θ)} `]

[eqn: = lim_{θ-> pi over4} {cosθ - sinθ} over{ root2 over 2 - sin θ }`]

[eqn: = lim_{θ-> pi over4} {(cosθ - sinθ)(cosθ + sinθ)left( root2 over2 + sin θ right)} over{ left( root2 over 2 - sin θ right) left( root2 over 2 + sinθ right) ( cosθ + sinθ ) }`]

[eqn: = lim_{θ-> pi over4} {(cos^2 θ - sin^2 θ)left( root2 over2 + sin θ right)} over{ left( 1 over 2 - sin^2 θ right) ( cosθ + sinθ ) }`]

[eqn: = lim_{θ-> pi over4} {(cos^2 θ - sin^2 θ)( root2 + 2sin θ )} over{( 1 - 2sin^2 θ ) ( cosθ + sinθ ) }`]

[eqn: = lim_{θ-> pi over4} {cos 2 θ `( root2 + 2sin θ )} over{ cos 2 θ ` ( cosθ + sinθ ) }`]

[eqn: = lim_{θ-> pi over4} { root2 + 2sin θ } over{ cosθ + sinθ }`]

[eqn: = { root2 + root2 } over{ root2 over2 + root2 over2 } = {2 root2} over root2 = 2``]

ꂼ ②

30. [eqn: b>0`]이므로 [eqn: lim_x->0 {sin7x} over{ 2^x+1 - a} = b over {2ln2}` `ne 0`]이고, [eqn: x->0`]일 때, (분자)[eqn: ->0`]이므로 (분모)[eqn: ->0`]이어야 한다.

따라서, [eqn: lim_x->0 `(2^x+1 -a) =0`]에서 [eqn: 2-a =0`]

∴ [eqn: a=2`]

[eqn: lim_x->0 {sin7x} over{ 2^x+1 - 2} =lim_x->0 {sin7x over x} over{{ 2^x+1 - 2} over x }`]

[eqn: = lim_x->0 {sin7x over 7x cdot 7} over{{ 2( 2^x - 1) } over x }`]

[eqn: = {1 cdot 7 } over {2 cdot ln2 }` = 7 over {2ln2}`]

∴ [eqn: b= 7`]

∴ [eqn: ab = 14`]

ꂼ [eqn: 14`]

[확률과 통계]

26. 주어진 히스토그램으로부터 누적도수의 분포표를 만들면 다음과 같다.

계급	도수	누적도수
0 ~ 10	2	2
10 ~ 20	4	6
20 ~ 30	6	12
30 ~ 40	8	20
40 ~ 50	10	30
50 ~ 60	12	42
60 ~ 70	10	52
70 ~ 80	8	60
80 ~ 90	6	66
90 ~ 100	4	70
100 ~ 110	2	72
계	72

따라서, 누적상대도수의 그래프의 개형은 ①과 같다.

ꂼ ①

27. 9개의 자료의 평균[eqn: m`]이

[eqn: 31 over 3 < m < 11`]

이므로 9개의 자료의 총합은

[eqn: 93< 9m < 99`]  [eqn: cdots㉠`]

이다. 10개의 자료의 총합은

[eqn: sum_k=1^10 2k = 2 cdot { 10 cdot 11} over2 = 110`]

이므로 [eqn: 9m = 110 - x`]이고, ㉠에서

[eqn: 93 < 110-x `<99`]

∴ [eqn: 11<x<17`]

따라서, [eqn: x`]의 값은 12 또는 14 또는 16이므로 구하는 합은 42이다.

ꂼ ③

28. [eqn: A`]또는 [eqn: B`]가 반장으로 뽑히는 사건을 [eqn: E`],[eqn: C`]가 부반장으로 뽑히는 사건을 [eqn: F`]라고 하면

구하는 확률은 [eqn: rm P it (F``|``E )`]이다.

[eqn: rm P it(E) = 2over4 = 1over2`]

[eqn: rmP it(E∩F) = 1over2 × 1over3 = 1over6`]

∴ [eqn: rm P it (F``|``E )`= { rmP it(E∩F)} over{ rmP it (E)}` = {1over6} over{ 1over2} = 1over3`]

ꂼ ②

29. 두 사건[eqn: A,B`]가 서로 배반사건이므로

[eqn: rmP it (A∪B) = rmP it(A) + rmP it(B) <=1`]이다.

(ⅰ) [eqn: rmP it(B) = 1over5`]이면 [eqn: 1over5 < rmP it(A) <=1`]에서

[eqn: rm P it(A) = 2over5 `]또는[eqn: rm P it(A) = 3over5 `]또는[eqn: rm P it(A) = 4over5`]

이므로 [eqn: A,B`]를 선택하는 경우의 수는

[eqn: `_5 C_1 × ( `_4 C_2 + `_4 C_3 + `_4 C_4 )`= 5 ( 6+4+1) `]

[eqn: = 55`] (가지)

(ⅱ) [eqn: rmP it(B) = 2over5`]이면 [eqn: 2over5 < rmP it(A) <=1`]에서

[eqn: rm P it(A) = 3over5 `]이므로 두 사건[eqn: A,B`]를 선택하는 경우의 수는

[eqn: `_5 C_2 × ``_3 C_3 = 10×1 = 10`] (가지)

따라서, 구하는 모든 경우의 수는

[eqn: 55+ 10 = 65`] (가지)

ꂼ ⑤

30. 10개의 자료[eqn: y_1 ,``y_2 ,``cdots , y_10`]의 평균[eqn: m_y`]는

[eqn: m_y = {sum_i=1^10 y_i } over 10 = 10 over 10 = 1`]

이므로 [eqn: y_1 ,``y_2 ,``cdots , y_10`]의 분산[eqn: σ_y`^2`]은

[eqn: σ_y `^2 `= {sum_i=1^10 y_i`^2 } over 10 - 1^2 = 68 over 10 - 1 = 5.8`]

[eqn: y_i = 1over10 x_i -5`]에서 [eqn: x_i = 10y_i + 50`]이므로

[eqn: x_1 , x_2 , cdots , x_10`]의 분산[eqn: σ_x``^2`]은

[eqn: σ_x``^2 = 100 σ_y``^2` = 100 × 5.8 = 580`]

ꂼ [eqn: 580`]

[이산수학]

26. [eqn: A`` →``B`` →``C`` →``D ```:```3×2×1 =6]

[eqn: A`` →``C`` →``D ```:```2×1 =2]

따라서 지점 A에서 지점 D까지 가는

방법의 수는  8가지이다.

ꂼ ③

27.

a

b

[eqn: v_1]

[eqn: v_2]

[eqn: v_3]

위의 그래프에서 꼭지점 a와 b를 변으로 연결하고 나머지 꼭지점 [eqn: v_1 ,``v_2 ,`` v_3]을

a 또는 b와 연결하면 생성수형도를 만들 수 있다. 따라서 구하는 생성수형도의 개수는

[eqn: 3 `× `2 `× `2 =12]

ꂼ ①

28. ⑤ 의 인접행렬을 그래프로 나타내면

다음과 같다.

A

B

E

D

C

위의 그래프에서 AEBDCA 는 해밀턴회    로이다.

ꂼ ⑤

29. ㄱ. (반례)

오른쪽 그래프는

최소 색의 수가

2이지만 수형도가

아니다.    (거짓)

ㄴ. 회로를 하나도 갖지 않는 그래프는

최소 색의 수가 2인 경우가 있으므로

최소 색의 수가 3인 가정에 모순이다.

따라서 한 개 이상의 회로를 갖는다.         (참)

ㄷ.  (반례)

오른쪽 그래프는

최소 색의 수가 4

이지만 회로가

지나지 않는 점이

존재한다. (거짓)

이상에서 옳은 것은  ㄴ이다.

ꂼ ②

30. 컴퓨터 [eqn: C_1]과 [eqn: C_2]가 연결되는 포   트 사이에는 1개 이상의 포트가 비어 있어   야 하고 컴퓨터 [eqn: C_2]와 [eqn: C_3]이 연결되   는 포트 사이에는 2개 이상의 포트가 비어    있어야 한다.

따라서 연결되는 포트의 순서에는

[eqn: C_2 > C_1 +1, ```C_3 > C_2 +2 >C_1 +3]

인 관계가  있고  [eqn: C_3 <=8]이므로

[eqn: 1<= C_1 < C_2 <C_3 <=5]

따라서 구하는 경우의 수는 1부터 5까지    의 자연수에서 3개를 뽑아 크기 순서로     배열하는 경우의 수이므로

[eqn: `_5 C_3 = { 5 ×4×3} over { 3×2×1} =10](가지)

ꂼ 10