수학 영역(A형)

수학 영역(A형)

1. ④	2. ①	3. ⑤	4. ①	5. ②

6. ③	7. ③	8. ④	9. ①	10. ①

11. ③	12. ④	13. ②	14. ②	15. ②

16. ⑤	17. ③	18. ④	19. ⑤	20. ⑤

21. ②	22. 52	23. 10	24. 45	25. 14

26. 33	27. 24	28. 29	29. 230	30. 13

1. 지수함수와 로그함수

정답 ④

[eqn: log_3 sqrt { 8} times log_2 `9][eqn: = log_3 LEFT ( 2^3 RIGHT )^{1 over2} times log_2` 3^2]
[eqn: = {3} over {2} `log _{3} `2 TIMES 2log _{2} `3]

[eqn: = {3} over {2} `log _{3} 2 TIMES {2} over {log _{3} 2}][eqn: =3]

2. 행렬과 그래프

정답 ①

[eqn: A^2 - 2AB`][eqn: = A(A-2B`)]
[eqn: = pmatrix{ `4&& 6`#`2&&0`} left{ pmatrix{`4&&6`#`2&&0`} -2 pmatrix{`1&&```````3`#`1&&-1`} right}]
[eqn: = pmatrix{ `4&& 6`#`2&&0`} left{ pmatrix{`4&&6`#`2&&0`} - pmatrix{`2&&```````6`#`2&&-2`} right}]
[eqn: = pmatrix{ `4&& 6`#`2&&0`} pmatrix{ `2&& 0`#`0&&2`}]
[eqn: =2 pmatrix{ `4&& 6`#`2&&0`} = pmatrix{ `8&& 12`#`4&&0`}]

구하는 행렬 [eqn: A^2 -2AB]의 모든 성분의 합은

[eqn: 8+12+4+0 = 24]

3. 다항함수의 적분법

정답 ⑤

[eqn: int _{ -2} ^{2 } { (x+|`x`| +2 )} dx]

[eqn: = 2 int _{ 0} ^{2 } { (|`x`| +2)}dx = 2 left[ 1over2 x^2 +2x right]_0^2]

[eqn: = 2times LEFT ( 1over2 times 2^2 +2 times 2 RIGHT ) =12]

4. 다항함수의 미분법

정답 ①

두 함수 [eqn: f(x) = -x^2 +4], [eqn: g(x) = 2x^2 +ax+b]라 하자.

함수 [eqn: g(x) = 2x^2 +ax+b]의 그래프가 점 [eqn: \A(2,~0)]을 지나므로 [eqn: 0 = 2 times2^2 +a times 2 +b]

[eqn: 0 = 8 +2a+b]	…… ㉠

[eqn: y = f(x)]와 [eqn: y = g(x)]가 점 [eqn: \A]에서 공통인 접선을 가지므로 [eqn: f`'(2) = g`'(2)]이다.

[eqn: f`'(x) =-2x], [eqn: g' (x) = 4x+a]이므로

[eqn: -4 = 8+a]   [eqn: therefore```][eqn: a =-12]

㉠에 [eqn: a=-12]를 대입하면 [eqn: b=16]

[eqn: therefore```][eqn: a+b = (-12)+16=4]

5. 함수의 극한과 연속

정답 ②

[eqn: lim _{ x->-1-0} { f(f(x))}]에서 [eqn: f(x)=t]로 놓으면 [eqn: x->-1-0]일 때, [eqn: t -> +0]이므로 [eqn: lim _{x -> -1-0} {f(f(x))= lim _{t-> +0} {f(t)=} 1}]

[eqn: lim _{ x->+0} { f(f(x))}]에서 [eqn: f(x)=s]로 놓으면 [eqn: x->+0]일 때, [eqn: s -> 1-0]이므로 [eqn: lim _{x -> +0} {f(f(x))= lim _{s-> 1-0} {f(s)=} -2}]

[eqn: THEREFORE][eqn: lim _{ x->-1-0} { f(f(x))} + lim _{ x->+0} { f(f(x))} = 1+(-2)=-1]

6. 다항함수의 미분법

정답 ③

[eqn: lim _{ x->2} { { f(x) +1} over {x-2 } } =3]에서 [eqn: f(2) =-1]이므로

[eqn: lim _{ x->2} { { f(x) +1} over { x-2} }][eqn: = lim _{ x->2} { { f(x) - (-1)} over {x-2 } }]
[eqn: = lim _{x -> 2} {{f(x)-f(2)} over {x-2}} =f` prime (2)=3]

[eqn: lim _{ x->2} { { g(x) -3} over {x-2 } } =1]에서 [eqn: g(2)=3]이므로

[eqn: lim _{x -> 2} {{g(x)-3} over {x-2}} = lim _{x -> 2} {{g(x)-g(2)} over {x-2}} =g prime (2)=1]

이때, [eqn: h (x) = f(x) g(x)]라 하면

[eqn: lim _{ x->2} { { f(x)g(x) - f(2) g(2)} over { x-2} } = lim _{ x->2} { { h(x) - h(2)} over { x-2} } = h'(2)]

[eqn: h' (x) = f`'(x) g(x) + f(x) g'(x)]이므로

[eqn: h'(2)][eqn: = f`'(2) g(2) +f(2) g'(2)]
[eqn: = 3 times 3 + (-1) times 1= 8]

[eqn: therefore```][eqn: lim _{ x->2} { { f(x) g(x) - f(2) g(2)} over { x-2} } = 8]

7. 확률

정답 ③

세 공장 [eqn: A], [eqn: B], [eqn: C]에서 생산된 제품 중 임의로 선택한 한 개의 제품이 불량품일 사건을 [eqn: X], 그 제품이 [eqn: C]공장에서 생산된 제품일 사건을 [eqn: Y]라 하면 확률은 [eqn: RMP(ITY``|`X``)]이다.

[eqn: RMP(ITY``|`X``)][eqn: = {rmP(itX SMALLINTERY) } over {rm P( it X)}]

[eqn: = {{50} over {100} TIMES {a} over {100}} over {{30} over {100} TIMES {2} over {100} + {20} over {100} TIMES {4} over {100} + {50} over {100} TIMES {a} over {100}}]  [eqn: = {50a} over {140+50a} = {15} over {29}]

[eqn: 145a = 210 + 75a], [eqn: 70a =210]

[eqn: therefore```][eqn: a=3]

8. 지수함수와 로그함수

정답 ④

[eqn: log` x][eqn: =3 + log`1.2 - log `d]
[eqn: = log { 1.2 times 10^3} over { d}]

이때, [eqn: x= {1.2 TIMES 10 ^{3}} over {d} GEQ 3000][eqn: ,] [eqn: d LEQ {1.2 TIMES 10 ^{3}} over {3000} =0.4]

따라서 시정거리가 [eqn: 3000(rmm)] 이상이 되기 위한 먼지농도의 최댓값 [eqn: d_1 =0.4]이다.

9. 다항함수의 적분법

정답 ①

[eqn: a_n][eqn: = int _{ 0} ^{1 } {x^n (x-1) dx }]
[eqn: = int _{ 0} ^{1 } { (x^n+1 - x^n )dx}]
[eqn: = left[ { 1} over {n+2 }x^n+2 - { 1} over { n+1}x^n+1 right]_0^1]
[eqn: = { 1} over { n+2} - { 1} over { n+1}]

[eqn: therefore```][eqn: sum _{ n=1} ^{ 10}a_n][eqn: = sum _{ n=1} ^{ 10} LEFT ( 1 over n+2 - 1over n+1 RIGHT )]
[eqn: = LEFT ( 1 over3 - 1over2 RIGHT ) + LEFT ( 1over4 - 1over3 RIGHT ) +cdots][eqn: + LEFT ( 1over12 - 1over 11 RIGHT )]
[eqn: =- {1} over {2} + {1} over {12}]

[eqn: =- {5} over {12}]

10. 수열

정답 ①

(가)에서 [eqn: 0]이 아닌 세 실수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]가 등비수열을 이루므로

[eqn: b=ar], [eqn: c=ar^2] ([eqn: r != 0]인 실수)

(나)에서 [eqn: ab=c]이므로

[eqn: a times ar =ar^2], [eqn: a^2 r -ar^2 =0]

[eqn: ar(a-r)=0]

[eqn: a]와 [eqn: r]은 [eqn: 0]이 아닌 실수이므로 [eqn: a=r]

따라서 [eqn: b=a^2], [eqn: c=a^3]이다.

(다)에서 [eqn: a+3b+c=][eqn: a+3a^2 +a^3 =-3]

[eqn: a^3 +3a^2 +a+3=0], [eqn: (a+3)(a^2 +1)=0]

이므로 [eqn: a=-3]

[eqn: therefore```][eqn: a+b+c][eqn: =a +a^2 +a^3]
[eqn: = (-3)+(-3)^2 +(-3)^3 =-21]

11. 다항함수의 미분법

정답 ③

[eqn: f(x)=x ^{2}]이라 놓으면 [eqn: f'(x)=2x]이므로

점 [eqn: {\P}_n (n,~n^2 )]에서 곡선 [eqn: y=x^2]에 접하는 접선의 기울기는 [eqn: 2n]이다. 또, 원 [eqn: C it rm _{n}]의 중심과 점 [eqn: {\P}_n]을 지나는 직선은 점 [eqn: {\P}_n]에서의 접선과 수직이다. 따라서 점 [eqn: {\P}_n (n,~n^2 )]을 지나고 접선에 수직인 직선의 방정식은

[eqn: y = - 1 over2n (x-n) +n^2]	…… ㉠

원 [eqn: {C}_n]의 중심은 ㉠의 [eqn: x]절편이므로

[eqn: 0 = - 1 over2n (x-n) +n^2]

[eqn: 1 over 2n (x-n ) =n^2], [eqn: x = 2n^3 +n]

따라서 원 [eqn: {C}_n]의 중심의 좌표는 [eqn: (2n ^{3} +n,~0)]이므로

원 [eqn: C _{1}]의 중심의 [eqn: x]좌표는 [eqn: 3]이다.

12. 수열의 극한

정답 ④

원 [eqn: C it rm _{n}]의 중심의 좌표가 [eqn: (2n ^{ 3}+n,~0)], 점 [eqn: rm P _{ITn}]의 좌표가  [eqn: rm P _{itn} ( it n,~n ^{2} )]이므로 반지름의 길이를 [eqn: r]라 하면

[eqn: r= sqrt {(2n ^{3} +n-n) ^{2} +(0-n ^{2} ) ^{2}} = sqrt {4n ^{6} +n ^{4}}]

이므로

[eqn: S``(n)][eqn: = pi ( sqrt { 4n^6 +n^4})^2]
[eqn: = (4n^6 +n^4 )pi]

[eqn: therefore```][eqn: lim _{ n->inf} { { S``(n)} over { n^6} } = lim _{ n->inf} { { (4n^6 +n^4 ) pi} over { n^6} } = 4pi]

13. 행렬과 그래프

정답 ②

(ⅰ) 행렬 [eqn: {pmatrix{a-1&`````1#1&`````1}}]의 역행렬이 존재하는 경우

즉, [eqn: (a-1)-1 != 0], [eqn: a!=2]일 때 집합 [eqn: A]의 원소의  개수는 [eqn: 1]이다. 이때 [eqn: A cap B != phi], [eqn: A cap C != phi]을 만족시키려면 집합 [eqn: A]의 원소는 집합 [eqn: B cap C]의 원소이어야 한다. 그런데 [eqn: y = x^2 +x+1]과 [eqn: y =x-1]을 동시에 만족시키는 실수해는 존재하지 않으므로 성립하지 않는다.

(ⅱ) 행렬 [eqn: {pmatrix{a-1&`````1#1&`````1}}]의 역행렬이 존재하지 않는 경우

즉, [eqn: (a-1)-1=0], [eqn: a=2]

[eqn: pmatrix{`1 && 1`#`1&&1`} pmatrix{`x`#`y`} = pmatrix{`2b`#`b`}]에서 [eqn: b=0]일 때

집합 [eqn: A != phi]이다.

(ⅰ), (ⅱ)에서 [eqn: a=2], [eqn: b=0]

[eqn: therefore```][eqn: a+b=2]

14. 통계

정답 ②

주사위 [eqn: 1]개를 던질 때 [eqn: 3]의 배수가 나올 확률이 [eqn: {1} over {3}]이므로 [eqn: 3]의 배수의 눈이 나오는 횟수를 확률변수[eqn: Y]라 하면 [eqn: rm ` it Y]는 이항분포 [eqn: rm `B LEFT ( 72,~ {1} over {3} RIGHT )]을 따른다.

[eqn: rm E LEFT ( it Y RIGHT ) =72 TIMES {1} over {3} =24], [eqn: rm V LEFT ( it Y RIGHT ) =72 TIMES {1} over {3} TIMES {2} over {3} =16]

이때, [eqn: n=72]는 충분히 큰 수이므로 확률변수 [eqn: Y]는 근사적으로 정규분포 [eqn: rm N LEFT ( 24,~4 ^{2} RIGHT )]를 따른다.

이때, [eqn: X][eqn: =3Y+(-2) TIMES (72-Y)][eqn: = 5Y -144]이므로

[eqn: rm P(itX ge 11 )][eqn: = rm P(5itY -144 ge 11)]
[eqn: = rm P (itY ge 31)][eqn: = rm P left (itZ ge 31-24 over4 right)]
[eqn: = rm P (itZ ge 1.75 )][eqn: = 0.5 - rm P(0 le itZ le 1.75)]
[eqn: =0.5 - 0.4599][eqn: =0.0401]

15. 함수의 극한과 연속

정답 ②

[eqn: f(1)=0], [eqn: g(1)=2]이고,

[eqn: lim _{ x->1} { f(x) =2}], [eqn: lim _{ x->1} { g(x) =0}]이므로

ㄱ. (참) [eqn: f(1) +g(1)=0+2=2]

[eqn: lim _{ x->1} { left{f(x) +g(x) right} =2+0=2}]

[eqn: therefore```][eqn: lim _{ x->1} { left{f(x) +g(x) right} = f(1)+g(1)}]

따라서 함수 [eqn: f(x)+g(x)]는 [eqn: x=1]에서 연속

ㄴ. (참) [eqn: f(1)g(1)=0 TIMES 2=0]

[eqn: lim _{x -> 1} {LEFT { f(x)g(x) RIGHT } =2 TIMES 0=0}]

[eqn: therefore```][eqn: lim _{x -> 1} {LEFT { f(x)g(x) RIGHT } =f(1) TIMES g(1)}]

따라서 함수 [eqn: f(x)g(x)]는 [eqn: x=1]에서 연속

ㄷ. (거짓) 함수 [eqn: { f(x)+ax} over { g(x) +bx}]가 [eqn: x=1]에서 연속이면

[eqn: lim _{ x->1} { { f(x) +ax} over {g(x) +bx } } = { f(1)+a} over {g(1)+b }]

[eqn: { 2+a} over { 0+b} = { 0+a} over { 2+b}]

[eqn: (2+a)(2+b) = ab]

[eqn: therefore```][eqn: a+b=-2]

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

16. 행렬과 그래프

정답 ⑤

ㄱ. (참) [eqn: B =A-E]이므로

[eqn: A ^{2} -A=][eqn: A(A-E`)=AB=O]

ㄴ. (참) 명제 ‘[eqn: A!=E]이면 [eqn: A]의 역행렬을 존재하지 않는다.’의 대우 명제인 ‘[eqn: A]의 역행렬이 존재하면 [eqn: A =E]이다’는 [eqn: A^-1]을 [eqn: A^2 -A =O]의 양변에 곱하면

[eqn: A-E=O], [eqn: A=E]이므로 참이다. 대우 명제가 참이므로 주어진 명제는 참이다.

ㄷ. (참) [eqn: B=A-E]이므로 [eqn: A+B =2A-E`]

[eqn: A^2 -A][eqn: = (2A-E`) LEFT ( 1 over2 A - 1over4 E` RIGHT ) - 1over4 E =O]

[eqn: (2A-E`) LEFT ( 1over2 A - 1over4 E` RIGHT ) = 1over4 E]

[eqn: (2A -E`)(2A-E`)=E]

[eqn: therefore```][eqn: (2A -E `)^-1 = 2A-E]

이때, [eqn: A+B =2A-E`]이므로 행렬[eqn: A+B]의 역행렬이 존재한다.

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

17. 수열

정답 ③

첫째항이 [eqn: -8]인 수열 [eqn: left{a_n right}]에 대하여

[eqn: a_n+1 - 2 sum _{ k=1} ^{ n} { a_k} over { k} = 2^n+1 (n^2 +n+2)``(n ge 1 )]	…… ㉠

주어진 식에 의하여

[eqn: a_n - 2 sum _{ k=1} ^{ n-1} { a_k} over { k} = 2^n (n^2 -n+2)``(n ge 2 )]	…… ㉡

이다. ㉠[eqn: -]㉡을 하면, [eqn: 2] 이상의 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: a_n+1 - a_n - 2 over n a_n =]

[eqn: 2^n (n+1) (n+2)]

이므로

[eqn: a_n+1 - { n+2} over { n}a_n = 2^n (n+1)(n+2)]

이다. 양변을 [eqn: (n+1)(n+2)]로 나누면

[eqn: { a_n+1} over { (n+1)(n+2)} - { a_n} over { n(n+1)} =2^n]

이다. [eqn: b_n = { a_n} over { n(n+1)}]이라 하면

[eqn: b_n+1 - b_n =] [eqn: (n ge2 )]

[eqn: 2^n]

이고, [eqn: b_2 =0]이므로

[eqn: b_n][eqn: = b_2 + sum _{ k=2} ^{ n-2}2^k]
[eqn: = { 2^2 (2^n-2 -1)} over { 2-1} =2^n -4]

[eqn: therefore```][eqn: b_n =] [eqn: (n ge2 )]

[eqn: 2^n -4]

[eqn: therefore```][eqn: f(n) = 2^n (n+1) (n+2)], [eqn: g(n) =2^n],

[eqn: h( n) = 2^n -4]

[eqn: therefore```][eqn: { f(4)} over { g(5)}+h(6) = { 480} over { 32} +60 = 75]

18. 수열의 극한

정답 ④

[eqn: RM TRIANGLE AA_1 O]에서 [eqn: rm bar OA = bar AA_1 =1], [eqn: rm angle OAA_1 =30°]이므로 코사인법칙에 의해

[eqn: rm {bar OA_1 }^2][eqn: = 1^2 +1^2 -2 times 1 times 1 times cos30°]
[eqn: =2 - sqrt { 3}]

따라서 [eqn: S_1][eqn: = { 1} over { 2} times ( sqrt { 2 - sqrt { 3} })^2 times sin 60° times 6]
[eqn: = { 3 sqrt { 3} (2- sqrt { 3} )} over { 2}]

두 정육각형 [eqn: rm A_{ it n } `B_{ it n }`C_{ it n }`D_{ it n }`E_{ it n }`F_{ it n }], [eqn: rm A_{ it n+1 }`B_{ it n+1 }`C_{ it n+1 }`D_{ it n+1 }`E_{ it n+1 }`F_{ it n+1 }`]의 넓이를 각각 [eqn: S_n], [eqn: S_n+1]이라 하면

[eqn: r_n`:r_n+1 = 1: sqrt { 2- sqrt { 3} }], [eqn: S_n `: ` S_n+1 = 1:2- sqrt { 3}]

따라서 수열 [eqn: left{S_n right}]은 첫째항이 [eqn: { 3 sqrt { 3} (2- sqrt { 3} )} over { 2}]이고, 공비가 [eqn: 2- sqrt { 3}]인 등비수열이다.

[eqn: therefore```][eqn: sum _{ n=1} ^{ inf}S_n][eqn: = { { 3 sqrt { 3}(2- sqrt { 3} )} over {2 } } over { 1-(2- sqrt { 3} )}][eqn: = { 9-3 sqrt { 3} } over { 4}]

19. 다항함수의 미분법

정답 ⑤

두 곡선 [eqn: y = x^3]과 [eqn: y =-x^3 +2x]의 교점을 구하면

[eqn: x^3 =-x^3 +2x], [eqn: 2x(x+1)(x-1)=0]

[eqn: therefore```][eqn: x =-1] 또는 [eqn: x=0] 또는 [eqn: x=1]

따라서 [eqn: \A(1,~1)]이다.

이때, [eqn: \B (it k,~k^3 )], [eqn: \C( it k,~ -k^3 +2k)]에서

[eqn: rm bar BC = (- it k^3 +2k ) - k^3 = -2k^3 +2k]이므로

[eqn: rm □ACOB][eqn: = rm triangle ACB + triangle COB]
[eqn: = 1over2 times (-2k^3 +2k ) times (1-k )]

[eqn: + 1over2 times (-2k^3 +2k ) times k]

[eqn: = -k^3 +k]

[eqn: f(k) = -k^3 +k````(0 <k < 1)]라 하면

[eqn: f`'(k) = -3k^2 +1 =0]에서 [eqn: k = { sqrt { 3} } over { 3}]

[eqn: f(k)]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: k]	[eqn: (0)]	[eqn: cdots]	[eqn: { sqrt { 3} } over { 3}]	[eqn: cdots]	[eqn: (1)]
[eqn: f` prime (k)]		[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]
[eqn: f(k)]		↗	극대	↘

따라서 함수 [eqn: f(k) = -k^2 +k````(0< k <1 )]는

[eqn: k = { sqrt { 3} } over { 3}]에서 극대이면서 최대이다.

20. 수열

정답 ⑤

[eqn: sum _{ k=1} ^{ 10}f(2^k )]에서 [eqn: 2^k]은 정수이므로 [eqn: f(2^k ) =2^k]

[eqn: therefore```][eqn: sum _{ k=1} ^{ 10}f(2^k )][eqn: = sum _{ k=1} ^{ 10}2^k]
[eqn: = { 2(2^10 -1)} over { 2-1} = 2^11 -2]	…… ㉠

정수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: 2 ^{n} LEQ k<2 ^{n+1}]일 때,

[eqn: n le log_2` k < n+1]이므로 [eqn: f(log_2` k) =n]

이때, [eqn: k]의 개수는 [eqn: 2^n+1 - 2^n = 2^n]이므로

[eqn: sum _{ k=2} ^{ 1024} f(log_2` k )][eqn: = sum _{ n=1} ^{ 9} (n times 2^n ) +10]
[eqn: = (1 times 2) +(2 times 2^2 ) + cdots +(9 times 2^9 ) +10]

[eqn: S = (1 times 2) +(2 times 2^2 ) +cdots +(9 times 2^9 )]          …… ㉡

[eqn: 2S=][eqn: (1 TIMES 2 ^{2} )+ CDOTS +(8 TIMES 2 ^{9} )+(9 TIMES 2 ^{10} )]       …… ㉢

라 할 때, ㉡[eqn: -]㉢을 하면

[eqn: -S][eqn: =(1 TIMES 2)+2 ^{2} +2 ^{3} + CDOTS +2 ^{9} -(9 TIMES 2 ^{10} )]

[eqn: = {2(2 ^{9} -1)} over {2-1} -9 TIMES 2 ^{10} =(-8) TIMES 2 ^{10} -2]

[eqn: therefore```][eqn: S =2^13 +2]

따라서 [eqn: sum _{ k=2} ^{ 1024} f(log_2` k )][eqn: = 2^13 +2+10]
[eqn: =2^13 +12]	…… ㉣

㉠, ㉣에 의해

[eqn: sum _{ k=1} ^{ 10}f(2^k ) + sum _{ k=2} ^{ 1024}f (log_2` k)][eqn: = (2^11 -2 ) +(2^13 +12)]
[eqn: = ( 5 times 2^11 ) +10]
[eqn: =10250]

21. 수열의 극한

정답 ②

[eqn: A cup B cup C = S`(n)], [eqn: A cap B = phi]을 만족하도록 벤다이어그램을 그려보면 원소가 존재할 수 있는 영역이 [eqn: 5]군데이므로 세 집합 [eqn: A], [eqn: B], [eqn: C`]를 정하는 방법의 수 [eqn: a_n = 5^n]이다.

[eqn: therefore```][eqn: sum _{ n=1} ^{ inf} { 1} over { a_n} = sum _{ n=1} ^{ inf} 1over 5^n = { 1 over 5} over { 1 - 1over5 } = 1over 4]

22. 행렬과 그래프

정답 52

꼭짓점의 개수가 [eqn: 10]개이므로 각 꼭짓점 사이의 연결 관계를 나타내는 행렬 [eqn: A]의 성분들의 총 개수는

[eqn: 10 times10 = 100](개)이다. 그래프의 각 꼭짓점 사이의 연결 관계를 나타낸 행렬의 모든 성분의 합은 그래프의 변의 개수의 2배와 같으므로 행렬 [eqn: A]의 성분 중에 [eqn: 1]의 개수는  [eqn: 12 TIMES 2=24]이다.

[eqn: therefore```][eqn: a=24], [eqn: b=100-24 =76]

[eqn: therefore```][eqn: b-a =76-24 = 52]

23. 지수함수와 로그함수

정답 10

[eqn: log_2` (3x^2 +7x)= 1+log_2` (x+1)]

[eqn: log_2` (3x^2 +7x) =log_2` 2 (x+1)]

[eqn: 3x^2 +7x = 2(x+1)], [eqn: 3x^2 +5x-2=0]

[eqn: (3x-1)(x+2)=0]

[eqn: therefore```][eqn: x = 1over3] 또는 [eqn: x=-2]

진수조건에서 [eqn: 3x^2 +7 x>0], [eqn: x+1>0] 이므로

[eqn: x(3x+7)>0], [eqn: x<- {7} over {3}] 또는 [eqn: x>0]이고,

[eqn: x>-1]  [eqn: therefore```][eqn: x = { 1} over { 3}]

[eqn: therefore```][eqn: p = 3], [eqn: q=1]

[eqn: therefore```][eqn: p^2 +q^2 =3^2 +1^2 =10]

24. 확률

정답 45

방정식 [eqn: x+3y+3z=32]에서 [eqn: x =3t-1]([eqn: t]는 자연수)로 놓으면 [eqn: (3t-1) +3y+3z=32], [eqn: 3t +3y+3z=33]

[eqn: therefore```][eqn: t+y+z=11]

음이 아닌 정수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]에 대하여

[eqn: t=1+a], [eqn: y=1+b], [eqn: z=1+c]라 하면,

[eqn: (1+a)+(1+b)+(1+c)=11], [eqn: a+b+c=8]

따라서 방정식 [eqn: x+3y+3z=32]의 자연수 [eqn: x,~y,~z]의 순서쌍 [eqn: (x,~y,~z)]의 개수는 방정식 [eqn: a+b+c=8]의 음이 아닌 정수해의 순서쌍 [eqn: (a,~b,~c)]의 개수와 같고, 이는 서로 다른 [eqn: 3]개에서 [eqn: 8]개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로

[eqn: rm ` _{3+8-1} C _{8} = _{10} C _{8} = _{10} C _{2} = {10 TIMES 9} over {2 TIMES 1} =45]

25. 다항함수의 적분법

정답 14

[eqn: f(x) =x^3 +2x^2 -3x+4]에서

[eqn: int _{ -2} ^{2 } { f(x)dx}][eqn: = int _{ -2} ^{2 } { (x^3 +2x^2 -3x +4)dx}]
[eqn: =2 int _{ 0} ^{2 } { (2x^2 +4)dx}]
[eqn: =2 LEFT [ {2} over {3} x ^{3} +4x RIGHT ] _{0} ^{2} =2 LEFT ( {16} over {3} +8 RIGHT ) = {80} over {3}]

[eqn: therefore```][eqn: f(-a)+f(a)]

[eqn: =(-a) ^{3} +2(-a) ^{2} -3(-a)+4][eqn: +a ^{3} +2a ^{2} -3a+4]

[eqn: = {80} over {3}]

[eqn: 4a ^{2} +8= {80} over {3}], [eqn: 4a ^{2} = {56} over {3}], [eqn: a^2 = 14 over3]

[eqn: therefore```][eqn: 3a ^{2} =14]

26. 함수의 극한과 연속

정답 33

[eqn: f(x) = 3x^2 +2x+1]에 대하여

[eqn: lim _{n -> INF } {LEFT. {4} over {n} LEFT { f LEFT ( 1+ {1} over {2n} RIGHT ) +f LEFT ( 1+ {2} over {2n} RIGHT ) + CDOTS +f LEFT ( 1+ {n} over {2n} RIGHT ) RIGHT . RIGHT }}]

[eqn: = lim _{n -> INF } {sum _{k=1} ^{n}} f LEFT ( 1+ {k} over {2n} RIGHT ) TIMES {4} over {n} = lim _{n -> INF } {8 sum _{k=1} ^{n} f LEFT ( 1+ {k} over {2n} RIGHT ) TIMES {1} over {2n}}]

[eqn: =8 int _{1} ^{{3} over {2}} {f(x)dx}][eqn: =8 int _{1} ^{{3} over {2}} {LEFT ( 3x ^{2} +2x+1 RIGHT ) dx}]

[eqn: =8 left [x^3 +x^2 +x right]_1 ^ {3over2}][eqn: =8 LEFT { LEFT ( {3} over {2} RIGHT ) ^{3} + LEFT ( {3} over {2} RIGHT ) ^{2} + {3} over {2} -3 RIGHT }]

[eqn: = 8 times 33 over 8 = 33]

27. 통계

정답 24

[eqn: 7]개의 동전 중 [eqn: 3]개는 앞면, [eqn: 4]개는 뒷면일 때, 앞면 [eqn: 3]개 중 [eqn: a]개를 뒷면 [eqn: 4]개 중 [eqn: b]개를 뒤집어 놓았다고 하면 [eqn: a,~b]의 값에 따른 확률변수 [eqn: X]에 대한 확률을 나타내면 다음 표와  같다.

[eqn: a]	[eqn: b]	[eqn: x]	[eqn: \P( itX = itx)]
[eqn: 0]	[eqn: 3]	[eqn: 6]	[eqn: rm { `_3 C_0 times _4 C_3} over { `_7 C_3} = 4 over 35]
[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 4]	[eqn: rm { `_3 C_1 times _4 C_2} over { `_7 C_3} = 18 over 35]
[eqn: 2]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: rm { `_3 C_2 times _4 C_1} over { `_7 C_3} = 12 over 35]
[eqn: 3]	[eqn: 0]	[eqn: 0]	[eqn: rm { `_3 C_3 times _4 C_0} over { `_7 C_3} = 1 over 35]

이때, [eqn: \E(itX `)][eqn: = 6 times 4over35 +4 times 18 over 35 +2 times 12 over35 + 0 times 1over 35]
[eqn: = 24 over 7]

[eqn: therefore```][eqn: \E(7 itX `) = 7 \E ( it X` ) = 7 times 24 over 7 = 24]

28. 다항함수의 적분법

정답 29

(가)와 (나)에서

[eqn: int _{ -1} ^{1 } { f(x)dx}][eqn: = int _{ -1} ^{1 } { (x^2 +1)dx}]
[eqn: =2 int _{ 0} ^{1 } { (x^2 +1)dx}]
[eqn: = 2 left[ 1over3 x^3 +x right]_0^1 = 8 over 3]

(나)와 (다)에서 [eqn: y = f(x)]의 그래프는 [eqn: y]축 대칭이고 주기가 [eqn: 2]인 함수이므로

[eqn: int _{ -n} ^{n } { f(x) dx} ` = n int _{ -1} ^{1 } { f(x) dx = 8 over3 n}]

따라서 수열 [eqn: left {a_n right}]에 대하여

[eqn: a_1 +2a_2 +3a_3 +cdots +na_n = int _{ -n} ^{n } { f(x) dx = 8over3 n}]

위의 식에 [eqn: n =6]과 [eqn: n=7]을 각각 대입하면

[eqn: a_1 +2a_2 +3a_3 +cdots + 6a_6 = 48over3 = 16]	…… ㉠

[eqn: a_1 +2a_2 +3a_3 + cdots +6a_6 +7a_7 = 56 over3]	…… ㉡

㉡[eqn: -]㉠을 하면

[eqn: 7a_7 = 8over3]

[eqn: therefore```][eqn: a_7 = 8 over 21]

[eqn: therefore```][eqn: p=21], [eqn: q=8], [eqn: p+q=29]

29. 수열

정답 230

첫째항이 [eqn: 20]이고, 공차가 [eqn: -3]인 등차수열 [eqn: left{a_n right}]은

[eqn: a_n][eqn: = 20 + (n-1) times (-3)]
[eqn: =-3n +23][eqn: (n=1,~2,~3,~cdots)]

수열 [eqn: left{b_n right}]은 [eqn: b_n = a_1 -a_2 +a_3 -a_4 +cdots +(-1)^n+1 a_n]

[eqn: (n=1,~2,~3,~cdots)]이므로

[eqn: a_n - a_n+1][eqn: = (-3n +23)- left{ -3 (n+1)+23 right}]
[eqn: =3]

(ⅰ) [eqn: n=2k]

[eqn: b_2k][eqn: = (a_1 - a_2 ) +(a_3 -a_4 )]

[eqn: +cdots + left{(-1)^2k a_2k-1 +(-1)^2k+1 a_2k right}]

[eqn: =3k]

[eqn: therefore```][eqn: b_2k = 3k]

(ⅱ) [eqn: n=2k-1]

[eqn: b_2k-1][eqn: =(a _{1} -a _{2} )+(a _{3} -a _{4} )][eqn: + CDOTS +(-1) ^{2k} a _{2k-1}]
[eqn: =3 (k-1) +a_2k-1]
[eqn: = 3k -3 + left { (-3) times (2k-1) +23 right}]
[eqn: = -3k +23]

[eqn: therefore```][eqn: b_2k-1 = -3k +23]

(i), (ii)에서 [eqn: sum _{ k=1} ^{ 20}b_k][eqn: = sum _{ k=1} ^{ 10}(b_2k +b_2k-1 )]
[eqn: = sum _{ k=1} ^{ 10} left{3k +(-3k +23) right}]
[eqn: =23 times10][eqn: =230]

30. 지수함수와 로그함수

정답 13

[eqn: log `n = x+y] ([eqn: x GEQ 0]인 정수, [eqn: 0 le y <1])

라 하면 [eqn: {\ P}_n (f(n),~g(n)) = (x,~y)]

연립부등식 [eqn: cases{y ge 1over3 x # 0 le y le 1 over2}]

에서 [eqn: x le 3y le 3over2]

[eqn: x]는 [eqn: 0] 이상인 정수이므로

(ⅰ) [eqn: x=0]일 때,

[eqn: 0 le 3y le 3over2], [eqn: 0 le y le 1over2]

따라서 [eqn: log`n = 0+y]이므로

[eqn: 0 le log`n le 1over2]

[eqn: log`1 le log`n < log`3.2]

[eqn: therefore```][eqn: 1 le n <3.2]

그러므로 [eqn: n]은 [eqn: 1,~2,~3]인 [eqn: 3]개이다.

(ⅱ) [eqn: x=1]일 때,

[eqn: 1 le 3y le 3over2],   [eqn: 1over3 le y le 1over2]

따라서 [eqn: log`n = 1+y]이므로

[eqn: 1over3 le log`n-1 le 1over2]

[eqn: log`2.1 < log `n-1 < log`3.2]

[eqn: 1+ log`2.1 < log`n < 1+ log`3.2]

[eqn: log`21 < log`n < log`32]

[eqn: therefore```][eqn: 21 <n < 32]

그러므로 [eqn: n]은 [eqn: 22,~ CDOTS ,~31]인 [eqn: 10]개이다.

(ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 자연수 [eqn: n]의 개수는 [eqn: 13]개이다.