수리영역

1. ①	2. ⑤	3. ②	4. ⑤	5. ②

6. ③	7. ⑤	8. ②	9. ④	10. ①

11. ④	12. ⑤	13. ④	14. ③	15. ⑤

16. ③	17. ③	18. ④	19. ①	20. ①

21. ⑤	22. ④	23. ②	24. ②	25. ③

1. 지수함수와 로그함수

정답 ①

[eqn: a = log`_9 LEFT ( 7-4 sqrt { 3} RIGHT )][eqn: =log`_3 (sqrt{7-4sqrt3}})]

이므로 로그의 정의에 의해

[eqn: 3`^a][eqn: =sqrt { {7-4 sqrt { 3} }]

[eqn: =sqrt { 7-2 sqrt { 12} }][eqn: =2 - sqrt { 3}]

[eqn: 3^{-a} = 1 over{2- sqrt { 3} } = 2+ sqrt { 3}]

[eqn: therefore~3^a +3^-a = 4]

2. 행렬과 그래프

정답 ⑤

[eqn: A= pmatrix {``{a}``&``{b}``#``{c}``&``{d}``}]라 하면

[eqn: A pmatrix {``{x}``#``{y}``}= pmatrix {``{x}``#``{y}``}] [eqn: LRARROW] [eqn: pmatrix {``{a}``&``{b}``#``{c}``&``{d}``}pmatrix {``{x}``#``{y}``} = pmatrix {``{1}``&``{0}``#``{0}``&``{1}``} pmatrix {``{x}``#``{y}``}]

[eqn: LRARROW] [eqn: pmatrix {``{a-1}``&``{b}``#``{c}``&``{d-1}``}][eqn: pmatrix {``{x}``#``{y}``} = pmatrix {``{0}``#``{0}``}]

[eqn: A pmatrix {``{x}``#``{y}``}= pmatrix {``{y}``#``{x}``}] [eqn: LRARROW] [eqn: pmatrix {``{a}``&``{b}``#``{c}``&``{d}``}pmatrix {``{x}``#``{y}``} = pmatrix {``{0}``&``{1}``#``{1}``&``{0}``} pmatrix {``{x}``#``{y}``}]

[eqn: LRARROW] [eqn: pmatrix {``{a}``&``{b-1}``#``{c-1}``&``{d}``}][eqn: pmatrix {``{x}``#``{y}``} = pmatrix {``{0}``#``{0}``}]

주어진 두 연립방정식의 해가 모두 무수히 많으므로

두 행렬 [eqn: pmatrix {``{a-1}``&``{b}``#``{c}``&``{d-1}``}], [eqn: pmatrix {``{a}``&``{b-1}``#``{c-1}``&``{d}``}]의 역행렬이

모두 존재하지 않는다.

즉, [eqn: (a-1)(d-1) -bc =0]

[eqn: ad-a-d+1-bc=0~~cdotscdots㉠]

이고, [eqn: ad- (b-1)(c-1)=0]

[eqn: ad+b+c-1-bc=0~~cdotscdots㉡]

그러므로 [eqn: ㉠,``㉡]을 연립하면

[eqn: a+b+c+d -2 =0]

[eqn: THEREFORE~a+b+c+d=2]

3. 함수

정답 ②

함수 [eqn: f(x)]가 분수함수이므로 [eqn: c!=0]

조건 (나)에서 함수 [eqn: f(x)]의 점근선의 방정식이

[eqn: x=1,~y=-2]이므로

[eqn: y={k}over{c(x-1)} -2] (단, [eqn: k]는 상수)[eqn: ~~cdotscdots㉠]

또한, 조건 (가)에서 함수 [eqn: f(x)]가 원점을 지나므로 [eqn: ㉠]에

[eqn: x=0,~y=0]을 대입하여 정리하면 [eqn: k=-2c]

[eqn: therefore~f(x)={-2}over{x-1}-2={-2x}over{x-1}]

이제, [eqn: f`^-1 (-1) = t]라 하면 [eqn: f(t) = -1]이므로

[eqn: -2t}over{t-1}=-1,``-2t=-t+1]

[eqn: therefore~t=-1]

[eqn: therefore~f`^{-1}(-1)=-1]

4. 지수함수와 로그함수

정답 ⑤

(ⅰ) [eqn: x^2 -2x =1]인 경우

[eqn: x^2 -2x -1 =0]에서 [eqn: x = 1 +- sqrt { 2}]

(ⅱ) [eqn: x^2 -2x = -1], [eqn: x^2 +6x +5=][eqn: 2k]([eqn: k]는 정수)인 경우

[eqn: x^2 -2x+1=0]에서 [eqn: x=1]이고,

[eqn: 1^2 +6cdot1+5=12](짝수)이므로 [eqn: x=1]은 주어진

식을 만족시킨다.

(ⅲ) [eqn: x^2 +6x +5 =0]인 경우

[eqn: (x+1 )(x+5) =0]에서 [eqn: x= -1] 또는 [eqn: x=-5]이고,

두 값 모두 방정식 [eqn: x^2 -2x=0]의 해가 아니므로

주어진 식을 만족시킨다.

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 구하는 실수 [eqn: x]의 개수는 [eqn: 5](개)이다.

5. 순열과 조합

정답 ②

(ⅰ) 두 명의 경찰관이 각각 [eqn: rm(A,``B),``(C,``D,``E,``F)]로

나누어 순찰하는 방법의 수

[eqn: 1 times 2! times 4! times2! = 96](가지)

(ⅱ) 두 명의 경찰관이 각각 [eqn: rm(A,``C,``D),``(B,``E,``F)]로

나누어 순찰하는 방법의 수

[eqn: `_2 {rmC}_1 times `_4 {rmC}_2 times`_2 {rmC}_2 times{1}over{2!} times 3! times 3! times2! = 432](가지)

(ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 방법의 수는 [eqn: 528](가지)이다.

6. 통계

정답 ③

대민 봉사 센터의 전화 상담의 통화 시간을 확률변수

[eqn: X]라 하면 [eqn: X]는 정규분포 [eqn: {rmN}(8,``2^2 )]을 따른다.

상담 전화 중 임의로 선택한 [eqn: 4]통의 통화 시간의 평균을

[eqn: bar{X``}]라 하면 표본평균 [eqn: bar{X``}]는 정규분포 [eqn: rm N left(8, ``2^2 over4 right)]

즉, [eqn: rmN(8, ``1^2 )]을 따른다.

따라서 구하는 확률은

[eqn: { rm P}(4bar{X``} ge 30)][eqn: ={ rm P}(bar{X``} ge 7.5)]

[eqn: ={ rmP} left(Z ge 7.5-8 over1 right)]

[eqn: ={ rmP} (Z ge -0.5 )]

[eqn: =0.5 + { rmP} (0 leZ le 0.5 )]

[eqn: =0.5 + 0.192]

[eqn: =0.692]

7. 삼각함수

정답 ⑤

사각형 [eqn: rmABCD]의 네 변의 길이 [eqn: bar{rm AB}], [eqn: rm bar{BC}], [eqn: bar{rmCD}], [eqn: bar{rmDA}]가

이 순서대로 공비가 [eqn: sqrt2]인 등비수열을 이루므로 네 변의

길이를 각각  [eqn: a], [eqn: sqrt { 2}a], [eqn: 2a], [eqn: 2sqrt { 2}a]라 하자.

위의 그림과 같이 사각형 [eqn: rm ABCD]가 원에 내접하므로

[eqn: angle rm ADC = theta]라 두면, [eqn: rm angle ABC= pi - theta]이다.

그러므로 삼각형 [eqn: rmABC]에서 제이코사인법칙에 의하여

[eqn: {bar{RMAC}}^{2}][eqn: ={bar{rmAB}}^2 + {bar{rmBC}}^2 - 2 bar{rmAB} cdot bar{rmBC}}cdot cos (pi- theta )]

[eqn: = a^2 + 2a^2 + 2 sqrt { 2} a^2`cos theta~~cdotscdots㉠]

또, 삼각형 [eqn: rm ADC]에서 제이코사인법칙에 의하여

[eqn: {bar{RMAC}}^{2}][eqn: rm= {bar{rmCD}}^2 +{bar{rmDA}}^2 - 2 barCD cdot barDA} cdot cos theta]

[eqn: = 4a^2 + 8a^2 - 8 sqrt { 2} a^2`cos theta~~cdotscdots㉡]

따라서 [eqn: ㉠,``㉡]을 연립하면

[eqn: a^2 (10sqrt { 2} `cos theta -9)=0]

[eqn: therefore~cos theta = { 9 sqrt { 2} } over {20}]

8. 수와 연산

정답 ②

[eqn: z=a+bi]([eqn: a,``b]는 실수)라 하면

[eqn: {z-{bar{z}}}over i = {a+bi-(a-bi)}over{i}=2b<0]

이므로 [eqn: b<0]이다.

그러므로 [eqn: z!=bar z]이다.

조건에서 [eqn: {z}over{1+z^2]가 실수이므로 [eqn: {z}over{1+z^2} = bar{{z}over{1+z^2}}]

즉, [eqn: {z}over{1+z^2} = bar{z}over{1+({barz})^2}}]

[eqn: z+z({barz})^2 =barz +barz z^2 ,``(z-barz )(1-z barz )=0]

[eqn: therefore~z barz =1~~cdotscdots㉠]

또, [eqn: {z^2 }over{1+z}]이 실수이므로 [eqn: {z^2 }over{1+z} = bar{{z^2 }over{1+z}}]

즉, [eqn: {z^2 }over{1+z} = {(barz )^2 }over{1+barz}}]

[eqn: z^2 +z^2`barz =(barz )^2 +(barz )^2 z,``(z-barz )(z+barz +barz z)=0]

[eqn: therefore~z+barz =-1(because~㉠)~~cdotscdots㉡]

[eqn: ㉠,~㉡]에서 [eqn: z,``barz]를 두 근으로 하는 이차방정식은

[eqn: x^2 +x+1=0]

[eqn: therefore~x={-1+-sqrt3 i }over2]

[eqn: therefore~z=-{1}over{2} -{sqrt3 i}over2 (because~b<0)]

9. 식과 그 연산

정답 ④

[eqn: omega^2 +omega +1 =0]이므로

[eqn: (omega -1)(omega^2 +omega +1 ) = omega^3 -1 =0]

[eqn: therefore~omega^3 =1]

[eqn: x^3 + y^3 +z^3 - 3 xyz]

[eqn: = (x+y+z )(x^2 +y^2 +z^2 -xy-yz-zx )]이고,

[eqn: x+y+z =( alpha -beta)+(alpha omega-betaomega^2 )+(alphaomega^2 -betaomega)]

[eqn: = alpha (1+omega +omega^2 ) - beta (1+omega +omega^2 )]

[eqn: =(alpha-beta)(1+ omega +omega ^2 )=0]

[eqn: xyz][eqn: = (alpha- beta )(alpha omega - beta omega^2 )(alpha omega^2 - beta omega )]

[eqn: = (alpha- beta )(alpha^2 omega^3 - alpha beta omega^2 - alpha beta omega^4 + beta^2 omega^3 )]

([eqn: because~omega^2 + omega = -1], [eqn: omega^3 =1])

[eqn: = (alpha- beta )(alpha^2 + alpha beta + beta^2 )]

[eqn: =alpha^3 +a^2 beta +alpha beta^2 -alpha^2 beta -alphabeta^2 -beta^3]

[eqn: = alpha^3 - beta^3]

[eqn: therefore~x^3 +y^3 +z^3 = 3xyz=3(alpha^3 -beta^3 )]

[알아두기!]

[eqn: x^3 + y^3 +z^3 - 3 xyz]

[eqn: = (x+y+z )(x^2 +y^2 +z^2 -xy-yz-zx )]

10. 순열과 조합

정답 ①

(ⅰ) (삼차항)[eqn: times](삼차항)[eqn: times](일차항)[eqn: times](상수항)일 때의

계수는

[eqn: {4!}over{2!} times3timesa=36a]

(ⅱ) (삼차항)[eqn: times](이차항)[eqn: times](이차항)[eqn: times](상수항)일 때의

계수는

[eqn: {4!}over{2!} times3^2 timesa=108a]

(ⅲ) (삼차항)[eqn: times](이차항)[eqn: times](일차항)[eqn: times](일차항)일 때의 계수는

[eqn: {4!}over{2!} times3 times 3^2 =324]

(ⅳ) (이차항)[eqn: times](이차항)[eqn: times](이차항)[eqn: times](일차항)일 때의 계수는

[eqn: {4!}over{3!} times3^3 times 3 =324]

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ), (ⅳ)에서

[eqn: 36a+108a+324+324=2^3 times3^5]

[eqn: 2^4 ittimes3^2 timesa +2^3 times3^4 =2^3 times3^5]

[eqn: 2a+3^2 =3^3]

[eqn: therefore~a=9]

11. 지수함수와 로그함수

정답 ④

방정식 [eqn: {{1}over{3} `{rmlog}_2`x =cos`3pix]를 만족시키는 실수 [eqn: x]의 개수

는 함수 [eqn: y={1}over{3}`log_2 `x]와 [eqn: y=cos`3pix]의 그래프의 교점

의 개수와 같다.

[eqn: {1}over{3}`log_2`x=1]에서 [eqn: x=8,``][eqn: {1}over{3}`log_2`x=-1]에서 [eqn: x={1}over{8},]

[eqn: {1}over{3}`log_2`x=0]에서 [eqn: x=1]이고, 함수 [eqn: y=cos`3pix]의

주기가 [eqn: {2}over{3}]이므로 함수 [eqn: y={1}over{3}`log_2 `x]와 [eqn: y=cos`3pix]의

그래프는 다음과 같다.

따라서 위의 그림과 같이 [eqn: n=1,``2,``3,``cdots,``24]일 때,

구간 [eqn: left({n-1}over{3},``{n}over{3} right)]에서 하나의 교점이 생기고,

점 [eqn: (8,``1)]에서 두 그래프가 만나므로 구하는 실근 [eqn: x]의

개수는 [eqn: 12times2+1=25](개)이다.

12. 삼각함수

정답 ⑤

[eqn: rm angle ADB= angle BAE = angle EBF = angle D EG =theta]라 하고

[eqn: rm barBD][eqn: =x]라 하면

[eqn: rm barAB][eqn: = x `sin`theta,] [eqn: rmbar BE][eqn: =rm barAB` sin`theta][eqn: = x` sin^2`theta,]

[eqn: rm bar EF][eqn: = rm bar BE` sin` theta][eqn: = x`sin ^3` theta]

[eqn: rm bar AD][eqn: = x` cos`theta,] [eqn: rm bar DE][eqn: =rm bar AD` cos`theta][eqn: = x` cos ^2`theta,]

[eqn: rm bar EG][eqn: = rm barDE` cos`theta][eqn: = x` cos^3`theta]

[eqn: therefore~a = x `sin^3`theta,] [eqn: b = x` cos ^3`theta]

[eqn: therefore~a^{2 over3 } + b^{2 over3}][eqn: = x^{2 over3}` sin ^2`theta + x^{2 over3} `cos^2`theta]

[eqn: = x^{2 over3}(sin^2`theta+cos^2`theta)= x^{2 over3}]

[eqn: therefore~x = LEFT ( a^{2 over3 }+ b^{2 over3} RIGHT )^{3 over2}]

13. 삼각함수

정답 ④

중심이 [eqn: rmD]인 원의 반지름의 길이를 [eqn: r]라 하고, [eqn: angle{rmDBC}=theta]

라 하자.

[eqn: {bar{rmAB}}=1,``{bar{rmBC}}=3,``{bar{rmCD}}=r+1,``{bar{rmAD}}=3+r,]

[eqn: {bar{rmBD}}=4-r]이고, [eqn: angle{rm ABD}=pi-theta]이므로

삼각형 [eqn: rmDAB]에서 제이코사인법칙에 의하여

[eqn: cos(pi-theta)=-cos`theta]

[eqn: ={1^2 +(4-r)^2 -(3+r)^2}over{2cdot1cdot(4-r)]

[eqn: ={8-14r}over{8-2r}~~cdotscdots㉠]

또, 삼각형 [eqn: rmDBC]에서 제이코사인법칙에 의하여

[eqn: cos`theta={3^2 +(4-r)^2 -(r+1)^2}over{2cdot3cdot(4-r)}]

[eqn: ={24-10r}over{24-6r}~~cdotscdots㉡]

따라서 [eqn: ㉠,``㉡]에서

[eqn: {7r-4}over{4-r} ={12-5r}over{12-3r}]

[eqn: (7r-4)(12-3r)=(4-r)(12-5r)]

[eqn: 13r^2 -64r+48=0,``(r-4)(13r-12)=0]

[eqn: therefore~r={12}over{13}~(because~0<r<4)]

14. 지수함수와 로그함수

정답 ③

일평균상대습도가 [eqn: 72``%]이고, 일평균기온이 [eqn: 30``CENTIGRADE]일 때의

부패지수는

[eqn: left({72-65}over{14} right)times1.05^30 ={1}over{2} times1.05^ 30]

일평균상대습도가 [eqn: h``%]이고, 일평균기온이 [eqn: 5``CENTIGRADE]일 때의

부패지수는

[eqn: left({h-65}over{14} right)times1.05^5]

이므로 [eqn: {1}over{2} times1.05^30 =left({h-65}over{14} right) times1.05^5]

[eqn: h=65+7times1.05^25]

이때,

[eqn: log`1.05^25 =25`log`1.05]

[eqn: =25times0.021][eqn: =0.525=log`3.35]

이므로 [eqn: 1.05^25 =3.35]

[eqn: THEREFORE~h=65+7 TIMES 3.35=88.45]

따라서 [eqn: h]의 값의 범위로 알맞은 것은 ③이다.

15. 수와 연산

정답 ⑤

[eqn: 507] 이하의 자연수 중에서 [eqn: 5]로 나눈 나머지가 [eqn: 0,``1,``2,]

[eqn: 3,``4]인 자연수들의 집합을 각각 [eqn: R_0 ,``R_1 ,``R_2 ,``R_3 ,``R_4]라

하자.

집합 [eqn: S]가 조건 (나)를 만족하기 위해서는 집합 [eqn: R_0]의 원소

를 [eqn: 2]개 이상 포함해서는 안되고, 집합 [eqn: R_1]과 집합 [eqn: R_4]의 원

소와 집합 [eqn: R_2]와 집합 [eqn: R_3]의 원소를 같이 포함해서도 안된

다.

그런데, [eqn: n(R_0 )=101,``][eqn: n(R_1 )=102,``][eqn: n(R_2 )=102,``]

[eqn: n(R_3 )=101,``][eqn: n(R_4 )=101]이므로 집합 [eqn: S]는 집합

[eqn: R_1 cupR_2]의 원소와 집합 [eqn: R_0]의 원소 1개를 포함할 때

원소의 개수가 최대가 된다.

따라서 집합 [eqn: S]의 원소의 개수의 최댓값은 [eqn: 205]이다.

16. 수열의 극한

정답 ③

[eqn: bar{ rm P_1 P_2} =1]이고 [eqn: bar{{rmP}_n {rm P}_n+1} = 2bar{{rmP}_n-1 {rm P}_n}]이므로

[eqn: bar{{rmP}_n {rmP}_n+1} = 2^n-1]

[eqn: therefore~{bar{{rmP}_n {rmP}_n+1}}^2 = 4^n-1]

또, [eqn: {bar{{rmAP}_n+1}}^2][eqn: = {bar{{rmAP}_n}}^2 + {bar{{rmP}_n {rmP}_n+1}}^2]

[eqn: = {bar{{rmAP}_n}}^2 + 4^n-1]

이므로 [eqn: n=2,``3,``4,``cdots]일 때,

[eqn: {bar{{rmAP}_n}}^2][eqn: = {bar{rm AP_1}}^2 + sum_k=1^n-1` 4^k-1]

[eqn: = 1 + { 4^n-1 -1} over { 4-1}][eqn: = {4^n-1 + 2} over3]

[eqn: therefore~lim_n->inf` LEFT ( { bar{{rmP}_n {rmP}_n+1}} over { bar{{rmAP}_n}} RIGHT )^2][eqn: = lim_n->inf `4^n-1 over {{4^n-1 + 2} over3}]

[eqn: = lim_n->inf ` 3cdot4^n-1 over {{4^n-1 + 2} }]

[eqn: = lim_n->inf ` 3 over {{1 + {2 over 4^n-1} }][eqn: =3]

17. 도형의 방정식

정답 ③

영역 [eqn: A]를 좌표평면 위에 나타내면 다음과 같다.

(단, 경계선은  제외한다.)

또, 집합 [eqn: B]가 나타내는 도형은 원점을 지나며 기울기가

[eqn: -k]인 직선이므로 위의 그림과 같이 직선 [eqn: kx+y=0]이

곡선 [eqn: y=x^2 +2]에 접할 때 상수 [eqn: k]의 값이 최대가 된다.

따라서 방정식 [eqn: x^2 +kx+2=0]이 중근을 가지므로

판별식 [eqn: D=k^2 -8=0]에서 [eqn: k=2sqrt2]이다.

18. 수열

정답 ④

[eqn: S_n `^2 - T_n`^2 =(S_n +T_n ) (S_n -T_n )]

[eqn: =n^2 (n+1)~~cdotscdots㉠]

등차수열의 공차가 [eqn: 0]이 아닐 때, 수열의 합은 [eqn: n]에 대한

이차식이다. 그런데, [eqn: S_n +T_n ,``S_n -T_n]을 곱한 값이

[eqn: n^2 (n+1)] 즉, [eqn: n]에 대한 삼차식이고, 수열 [eqn: "{"a_n "}"]의

공차는 양수, 수열 [eqn: "{"b_n "}"]의 공차는 음수이므로 수열

[eqn: "{"a_n +b_n"}"]의 공차는 [eqn: 0]이다.

그러므로 [eqn: a_n +b_n =](상수)이다.

[eqn: ㉠]의 양변에 [eqn: n=1]을 대입하면

[eqn: (S_1 +T_1 ) (S_1 -T_1 )=(a_1 +b_1 ) (a_1 -b_1 )=2]이고,

[eqn: a_1 -b_1 =1]이므로 [eqn: a_1 +b_1 =2]

[eqn: therefore~a_n +b_n =2,``S_n +T_n =2n~~cdotscdots㉡]

따라서 [eqn: ㉠,``㉡]을 연립하면

[eqn: S_n -T_n ={n(n+1)}over{2}]

[eqn: therefore~a_n -b_n =(S_n -T_n )-(S_n-1 -T_n-1 )]

[eqn: ={n(n+1) over2} -{n(n-1) over2}=n] (단, [eqn: n ge2])

[eqn: therefore~a_20 -b_20 =20,`` a_20 +b_20 =2]

[eqn: therefore~a_20 b_20 ={(a_20 +b_20 )^2 - (a_20 -b_20 )^2} over4]

[eqn: ={4-400}over{4} =-99]

19. 지수함수와 로그함수

정답 ①

[eqn: |` log`_x `n `right| le 2] [eqn: LRARROW] [eqn: -2 le log`_x `n le 2]
[eqn: LRARROW] [eqn: log`_x `1 overx^2 le log`_x `n le log`_x `x^2]

(ⅰ) [eqn: x>1]일 때, [eqn: 1 overx^2 le n le x^2]

(ⅱ) [eqn: 0<x<1]일 때, [eqn: x^2 le n le 1 overx^2]

(ⅰ), (ⅱ)에서

[eqn: f(x)=]	[eqn: left{ matrix {it#it#it#it}]	[eqn: left[` x^2 ` right]]		([eqn: x >1])
		[eqn: left[`1 over x^2 ` right]]		([eqn: 0<x<1])

(단, [eqn: [`x`]]는 [eqn: x]를 넘지 않는 최대의 정수이다.)

ㄱ. (참) [eqn: f(2) = left[ `2^2` right] = 4]

ㄴ. (거짓) [eqn: 1<x<y]이면 [eqn: x^2 <y^2]이므로

[eqn: f(x) lef(y)]

[eqn: 0<x < y <1]이면 [eqn: {1}over{y^2 } <{1}over{x^2 }]이므로

[eqn: f(x) ge f(y)]

ㄷ. (거짓) 자연수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: 0 < 1 overx <1]이므로

[eqn: f LEFT ( 1 overx RIGHT ) = left[ `x^2 `right] le30]에서 [eqn: x^2 < 31]이다.
그러므로 [eqn: f LEFT ( 1 overx RIGHT ) le 30]을 만족하는 자연수 [eqn: x]는 [eqn: 2,``3,] [eqn: ``4,``5]의 [eqn: 4]개이다.

따라서 옳은 것은 ㄱ뿐이다.

20. 수열의 극한

정답 ①

등비수열 [eqn: left{ a_n right}]의 첫째항과 공비를 각각 [eqn: a], [eqn: r]라 하자.

(ⅰ) [eqn: r=1]일 때,

[eqn: {S_n - a_n`^2 }over{a_n}][eqn: = { na - a^2} over {a } = n-a]이므로                   [eqn: lim_n->inf `{S_n - a_n`^2 }over{a_n}][eqn: = inf]

(ⅱ) [eqn: r!=1]일 때,

[eqn: {S_n - a_n`^2 }over{a_n}][eqn: = { { a ( 1- r^n )} over { 1-r}- a^2 r^2n-2 } over { ar^n-1}]

[eqn: = 1 over1-r LEFT ( 1 overr RIGHT )^n-1 - r over1-r - a r^n-1]

그런데, [eqn: |`r`|<1], [eqn: r!=0]일 때, [eqn: lim_n->inf` LEFT ( 1 overr RIGHT )^n-1]이 발산

하고, [eqn: |`r`|>1]일 때, [eqn: lim_n->inf `r^n-1]이 발산하므로

[eqn: lim_n->inf`{S_n - a_n`^2 }over{a_n}]은 수렴하지 않는다.

따라서 [eqn: lim_n->inf`{S_n - a_n`^2 }over{a_n}]이 수렴하기 위해서는 [eqn: r = -1]

이다. 즉, [eqn: {S_n - a_n`^2 }over{a_n}][eqn: ={1}over{2} (-1)^ n-1 +{1}over{2} -a(-1)^n-1]

[eqn: ①] [eqn: n]이 홀수일 때,

[eqn: {S_n - a_n`^2 }over{a_n}][eqn: = 1 over2 + 1 over2 -a = 1- a]

[eqn: ②] [eqn: n]이 짝수일 때,

[eqn: {S_n - a_n`^2 }over{a_n}][eqn: = - 1 over2 + 1 over2 +a = a]

[eqn: ①,``②]에서 [eqn: 1-a = a]

[eqn: therefore~a= 1 over2]

[eqn: therefore~a_n ={1}over{2} (-1)^n-1]

[eqn: therefore~a_10 = 1 over2 (-1)^9 = - 1 over2]

21. 행렬과 그래프

정답 ⑤

ㄱ. (참) [eqn: P][eqn: = pmatrix {``{```````1}``&``{1}``#``{-1}``&``{0}``}]이라 두면

[eqn: P^2][eqn: = pmatrix {``{```````1}``&``{1}``#``{-1}``&``{0}``} pmatrix {``{```````1}``&``{1}``#``{-1}``&``{0}``}]

[eqn: = pmatrix {`````````{0}``&`````````{1}``#``{-1}``&``{-1}``}` inM]

[eqn: P^3][eqn: = pmatrix {`````````{0}``&`````````{1}``#``{-1}``&``{-1}``} pmatrix {``{```````1}``&``{1}``#``{-1}``&``{0}``}]

[eqn: = pmatrix {``{-1}``&`````````{0}``#`````````{0}``&``{-1}``}][eqn: = -E ``inM]

[eqn: P^4 = -P ``inM]

[eqn: P^5 = -P^2``inM]

[eqn: P^6 = E``inM]

[eqn: vdots]

그러므로 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: P^n `in M] 이다.

ㄴ. (참) 제 [eqn: 1]행의 성분의 합이 [eqn: 0]인 경우는 [eqn: (a,``b)]가

[eqn: (0,``0),``(1,``-1),``(-`1,``1)]인 세 가지뿐이다.

[eqn: therefore~{rm P}(B) = 3 times LEFT ( 1 over3 RIGHT )^2 = 1 over3]

ㄷ. (참) (ⅰ) [eqn: (a,``b)][eqn: = (0,``0)]인 경우

[eqn: c,``d]의 값에 관계없이 항상 역행렬이 존재

하지 않는다.

(ⅱ) [eqn: (a,``b)][eqn: =(1,``-1 )]인 경우

[eqn: (c,``d)]가 [eqn: (0,``0),``(1,``-1),``(-1,``1)]일 때,

역행렬이 존재하지 않는다.

(ⅲ) [eqn: (a,``b)][eqn: =(-1,``1 )]인 경우

[eqn: (c,``d)]가 [eqn: (0,``0),``(1,``-1),``(-1,``1)]일 때,

역행렬이 존재하지 않는다.

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서

[eqn: {rmP}(A cap B)][eqn: = LEFT ( 1 over3 RIGHT )^2 + 3 times LEFT ( 1 over3 RIGHT )^4 + 3 times LEFT ( 1 over3 RIGHT )^4][eqn: = 5 over27]

[eqn: therefore~{rm P}(A `| ` B)][eqn: = {{rmP}(A cap B)} over{{rmP}(B)}][eqn: ={ 5 over27} over {1 over3 } = 5 over9]

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

22. 방정식과 부등식

정답 ④

삼차방정식 [eqn: f(x)=0]의 정수근을 [eqn: n]이라 하면,

[eqn: f(x)=(x-n)(x^2 +ax+b)] (단, [eqn: a,``b]는 정수)

[eqn: f(7) = (7-n )(49+7a+b ) = -3~~cdotscdots㉠]

[eqn: f(11) = (11-n )(121+11a+b) = 73~~cdotscdots㉡]

그런데, [eqn: 49+7a+b], [eqn: 121 +11a+b]는 모두 정수이므로

[eqn: 7-n], [eqn: 11-n]은 각각 [eqn: 3], [eqn: 73]의 약수이어야 한다.

즉, [eqn: 7-n=1] 또는 [eqn: 7-n=-1] 또는 [eqn: 7-n=3] 또는

[eqn: 7-n=-3]이므로 [eqn: n=6] 또는 [eqn: n=8] 또는 [eqn: n=4] 또는

[eqn: n=10]이다.

또, [eqn: 11-n]은 [eqn: 73]의 약수이어야 하므로 [eqn: n=10]일 때,

조건을 만족한다.

따라서 삼차방정식 [eqn: f(x)=0]의 정수근은 [eqn: 10]이다.

23. 수열의 극한

정답 ②

주어진 귀납적 정의에 의해

[eqn: y_n+1 =f(y_n )=f(x_n+1 )]

ㄱ. (참) [eqn: 1- 2x_n+1][eqn: =1- 2y_n]

[eqn: = 1- 2 f(x_n )]

[eqn: = 1- 4 x_n (1-x_n )][eqn: = (1-2x_n )^2]

[eqn: log`|`1-2x_n+1`| = 2 `log`|`1-2x_n`|]에서 [eqn: a_n+1 = 2 a_n]

[eqn: therefore~a_n = a_1 cdot 2^n-1 = 2^n-1 cdot log`|`1- 2x_1`|]

ㄴ. (참) [eqn: 0<x_1 <1]일 때, [eqn: 0< |`1-2x_1`|<1]이므로

[eqn: log `|`1-2x_1`| <0]

그런데, ㄱ에서 [eqn: a_n = 2^n-1 cdot log`|`1- 2x_1`|]이므로

[eqn: therefore~lim_n->inf` a_n][eqn: = - inf]

또, [eqn: a_n = log`|`1-2x_n`|]이므로 [eqn: lim_n->inf` a_n][eqn: = - inf]이려면

[eqn: lim_n->inf `|`1-2x_n`|=0]이다.

[eqn: therefore~lim_n->inf` x_n = 1 over2 ,``]

[eqn: lim_n->inf `y_n][eqn: = lim_n->inf`f(x_n )][eqn: = f LEFT ( 1 over2 RIGHT )][eqn: = 1 over2]

그러므로 [eqn: 0<x_1 <1,``x!={1}over{2}]일 때, [eqn: n]의 값이 커짐

에 따라 점 [eqn: {rmP} _n]은 점 [eqn: left({1}over{2},``{1}over{2} right)]에 한없이 가까워진다.

ㄷ. (거짓) [eqn: x_1 <0]일 때, [eqn: 1- 2x_1 >1]이므로

[eqn: log`|`1-2x_1`| >0]

그런데, ㄱ에서 [eqn: a_n = 2^n-1 cdot log`|`1- 2x_1`|]

[eqn: therefore~lim_n->inf` a_n][eqn: =inf]

또, [eqn: a_n = log`|`1-2x_n`|]이므로 [eqn: lim_n->inf` a_n][eqn: =inf]이려면

[eqn: lim_n->inf `|`1-2x_n`|=inf]이다.

[eqn: therefore~lim_n->inf` |`x_n`|= inf]

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

24. 수열

정답 ②

[eqn: log_2 `n]은 자연수 [eqn: n]이 [eqn: n=2^k]([eqn: k]는 음이 아닌 정수)일 때,

정수이고, 이때 점 [eqn: LEFT ( n ,``log`_2 `n RIGHT )]과 점 [eqn: LEFT ( log`_2`n ,``n RIGHT )]을 잇는

선분 위의 점 중에서 [eqn: x]좌표와 [eqn: y]좌표 모두가 정수인 점의

개수는 [eqn: n - log`_2`n +1 = 2^k - k +1]이다.

즉, [eqn: n = 2^k]([eqn: k]는 음이 아닌 정수)일 때,

[eqn: a_n = 2^k - k +1]이고,

[eqn: n !=2 ^k]일 때, [eqn: a_n =0]이다.

[eqn: therefore~sum_n=1^2011` a_n][eqn: =sum_k=0^10 `(2^k - k+1 )]

[eqn: = { 2^11 -1} over {2-1 } - { 10cdot11} over { 2} +11][eqn: = 2003]

25. 수열의 극한

정답 ③

(ⅰ) [eqn: 1 over2 < x < 1]일 때,

[eqn: 1< 1 overx <2]이므로 [eqn: left[` 1 overx `right] =1]

[eqn: therefore~g(x) = 1 over3]

그러므로 구간 [eqn: LEFT ( 1 over2 , ``1 RIGHT )]에서 영역 [eqn: R(g)]의 넓이는 [eqn: 1 over2 times 1 over3 = 1 over{6}]이다.

(ⅱ) [eqn: 1 overn+1 < x le 1 overn``(n=2,``3,``4,``cdots)]일 때,

[eqn: n le 1 overx <n+1]이므로 [eqn: left[` 1 overx` right] = n]

[eqn: therefore~g(x) = 1 overn+2]

그러므로 구간 [eqn: LEFT ( `1 overn+1 , ``1 overn `RIGHT ]]에서 영역 [eqn: R(g)]의

넓이는

[eqn: LEFT ( 1 overn - 1 overn+1 RIGHT ) times 1 overn+2 = 1 over{n(n+1)(n+2)}]

(ⅰ), (ⅱ)에서 영역 [eqn: R(g)]의 넓이는

[eqn: sum_n=1^inf `1 over{n(n+1)(n+2)}]

[eqn: = 1 over2 sum_n=1^inf `left{ 1 overn(n+1) - 1 over{(n+1)(n+2)} right}]

[eqn: = 1 over2 lim_n->inf `LEFT[ left({1}over{2} -{1}over{6} right)+left({1}over{6} -{1}over{12} right)+]

[eqn: cdots+ left{1 overn(n+1) -{1}over{(n+1)(n+2)} right}right]]

[eqn: = 1 over2 lim_n->inf `LEFT { 1 over2 - 1 over{(n+1)(n+2)} right}]

[eqn: = 1 over4]

외국어(영어) 영역

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2009 1차 시험 해설