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2006학년도 대학수학능력시험 6월 모의평가 문제지

수리 영역

[eqn: \log_4 `64]의 값은? [2점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

두 행렬 [eqn: X], [eqn: Y``]에 대하여 [eqn: X`+`Y`=` pmatrix { `-1 & -1`` # ~~```1 & ~~0`` }], [eqn: X`-`Y`=` pmatrix { `-1 & ~~`1`` # `-1 & -2` `}]일 때, [eqn: X^{ 2 } `+XY``]는? [2점]

① [eqn: pmatrix{`-1&~~1``#`-1&-2``}`]	② [eqn: pmatrix{`1&~`-1`` #`1&`~~``` 2`}]	③ [eqn: pmatrix{`-1&~~0``#~~``0&-1``}`]

④ [eqn: pmatrix{`-1&-1``#~~``1&~~0``}`]	⑤ [eqn: pmatrix{``````1&1```#`-1````&0```}]

[eqn: lim from { n` -> ` INF } { 2_` } over { sqrt { n^2 `+`2n` } `-` sqrt { n^2 `-`2n` } }^`]의 값은? [2점]

① [eqn: 1]	② [eqn: sqrt { 2` }]	③ [eqn: { 3_` } over { 2` }]	④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 2` sqrt { 2 `}]

[eqn: a `=` SQRT { 2`}], [eqn: b`=^{ 3} SQRT {3 `}]일 때, [eqn: `^{ 6} SQRT {6 `}]을 [eqn: a], [eqn: b`]로 나타낸 것은? [3점]

① [eqn: a^{1over3} ``b^{1over2}]	② [eqn: a^{1over2} ``b^{1over3}]	③ [eqn: a^{1over2} ``b^{1over6}]

④ [eqn: a^{1over6} ``b^{1over3}]	⑤ [eqn: a^{1over6} ``b^{1over6}]

부등식 [eqn: log_3 (`x`-`1)`＠`2`]를 만족시키는 정수 [eqn: x`]의 개수는?

[3점]

① [eqn: 2`]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 8]	④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 14]

수열 [eqn: \{a_n` \}]의 첫째항부터 제[eqn: n`]항까지의 합 [eqn: S_n`]이 [eqn: S_n = 2n^2 `-n`]일 때, [eqn: lim from { n` ->` INF } { { n`a_n} over { S_n } }]의 값은? [3점]

수리 영역

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

두 실수 [eqn: p], [eqn: q`]에 대하여 [eqn: ad` -`bc`=`p], [eqn: a`+`d`=`q`]를 만족시키는 행렬 [eqn: A`= pmatrix{`a````&b```#`c````&d```}]가 있다. [eqn: A`+E`]의 역행렬이 존재하면 [그림[eqn: 1]]과 같이 나타내고, [eqn: A`+E`]의 역행렬이 존재하지 않으면 [그림[eqn: 2]]와 같이 나타내기로 한다.

(단, [eqn: E`]는 단위행렬이다.)

[그림[eqn: 1]]	[그림[eqn: 2]]

다음 그림에서 (가), (나)에 알맞은 것은? [3점]

(가)	(나)

①	[eqn: rm Y]	[eqn: -1]

②	[eqn: rm Y]	[eqn: 0]

③	[eqn: rm Y]	[eqn: 1]

④	[eqn: rm N`]	[eqn: -1]

⑤	[eqn: rm N`]	[eqn: 1]

세 함수

[eqn: f``(x`)`=`(1+r_1 )^x`], [eqn: g`(x`)`=` left ( 1+ { r_2} over { 2 } right ) ^2x `], [eqn: h`(x`)`= left ( 1+ {r_3} over { 4 } right ) ^4x]

에 대하여 [eqn: f``(10)`=`g`(10)`=`h`(10)]일 때, [eqn: r_1 `], [eqn: r_2 `], [eqn: r_3`]의 대소 관계를 옳게 나타낸 것은? (단, [eqn: r_1 `], [eqn: r_2 `], [eqn: r_3`]는 양의 실수이다.)

[3점]

① [eqn: r_1 `＠`r_2 `＠`r_3]	② [eqn: r_1 `＠`r_3 `＠`r_2]	③ [eqn: r_2 `＠`r_1 `＠`r_3]

④ [eqn: r_2 `＠`r_3 `＠`r_1]	⑤ [eqn: r_3 `＠`r_2 `＠`r_1]

[eqn: \A]지역에는 세 곳, [eqn: \B]지역에는 네 곳, [eqn: \C]지역에는 다섯 곳, [eqn: \D]지역에는 여섯 곳의 관광지가 있다. 이 중에서 세 곳을 선택하여 관광하려고 할 때, 선택한 세 곳이 모두 같은 지역이 되는 경우의 수는? [3점]

① [eqn: 20]	② [eqn: 25]	③ [eqn: 30]	④[eqn: 35]	⑤[eqn: 40]

두 행렬 [eqn: A` = PMATRIX { `1``& 0```# `1`` & 0 ``` }], [eqn: B` = PMATRIX { `1``& 1```# ` 0``& 0 ``` }]을 중복을 허락하여 곱해서 얻어지는 행렬의 집합을 [eqn: S`]라 하자. 다음은 [eqn: S`]의 원소를 구하는 과정이다.

수리 영역

[eqn: A^2 =A], [eqn: B^{2} =B`]이므로 [eqn: S`]의 원소는

[eqn: A], [eqn: B], [eqn: (AB)^n], [eqn: (BA)^n], [eqn: (AB)^n A], [eqn: (BA)^n B`]의 형태이다.

한편,

[eqn: AB `=PMATRIX { ` 1``& 1``` # `1 ``& 1``` }]이므로 [eqn: (AB)^n = PMATRIX { { 2^n-1}& { 2^n-1``}`# {2^n-1 }& {2^n-1 ``}` }]

[eqn: BA ` = PMATRIX { ` 2``& 0```# `0 ``& 0 ``` }]이므로 [eqn: (BA)^n `=]

따라서 [eqn: (AB)^n A `= PMATRIX { { 2^n-1 }& { 2^n-1 ```}# {2^n-1 }& {2^n-1 ```} } PMATRIX { `1``& 0```# `1``& 0 ``` } =]

[eqn: (BA)^n B ` =]          [eqn: PMATRIX {`1``& 1```# `0 ``& 0`` ` } `=]

그러므로 [eqn: S`]의 원소는

[eqn: A], [eqn: B], [eqn: 2^n-1 PMATRIX { `1 ``& 1`` `# ` 1``& 1 ``` }],           ,           ,

의 형태이다. (단, [eqn: n`= 1,``2,`3,`…`])

위의 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [3점]

(가)	(나)	(다)

①	[eqn: PMATRIX { ``2^n ``& 0```# `0``` ``& 0 ``` }]	[eqn: 2^n A]	[eqn: 2^n B]

②	[eqn: PMATRIX { ``2^n ``& 0```# `0``` ``& 0 ``` }]	[eqn: 2^n A]	[eqn: 2^n AB]

③	[eqn: PMATRIX { ``2^n ``& 0```# `0``` ``& 0 ``` }]	[eqn: 2^n AB]	[eqn: 2^n B]

④	[eqn: PMATRIX { ``2^n ``& 0```# ``2^n ``& 0 ``` }]	[eqn: 2^n B]	[eqn: 2^n A]

⑤	[eqn: PMATRIX { ``2^n ``& 0```# ``2^n ``& 0 ``` }]	[eqn: 2^n A]	[eqn: 2^n B]

오른쪽 그림과 같이 삼각형 [eqn: \ABC`]의 변 [eqn: \AB`]를 [eqn: 2```:`1]로 내분하는 내분점을 [eqn: \P`]로 잡고, 변 [eqn: \AC`] 위에 두 점

[eqn: \Q], [eqn: \R`]를 잡자. 삼각형 [eqn: \APQ`], [eqn: \PRQ`]와 사각형 [eqn: \PBCR`]의 넓이가 차례로 첫째항이

[eqn: a`]이고 공차가 [eqn: d`]인 등차수열을 이룰 때, 다음은 [eqn: {bar \CQ}_` over {bar \AR}]의 값을 [eqn: a`]와 [eqn: d`]로	나타내는 과정이다.

삼각형 [eqn: \APQ`]의 넓이는 [eqn: a`]이므로 삼각형 [eqn: \APR`]의 넓이는 [eqn: 2a`+d`]가 되어

[eqn: a``: ``2a`+d][eqn: = triangle \APQ````: `triangle \APR]

[eqn: =`{1_`} over {2} bar \AP` · bar \AQ ` `sin``A```: `{1_`} over {2} bar \AP `· bar \AR `` sin``A]

가 성립한다. 따라서

[eqn: bar \AQ_` over bar \AR `= ` a_` over {2a`+d}]	…… ㉠

같은 방법으로, 삼각형 [eqn: \ABC`]의 넓이는           이므로

[eqn: a``:]  	[eqn: = triangle \APQ````: triangle \ABC]

[eqn: ={1_`} over {2}`bar \AP`· bar \AQ `` sin`A```:`` {1_`} over {2}`bar { \AB } `· bar \AC``sin`A]

또한 점 [eqn: \P`]는 변 [eqn: \AB`]를 [eqn: 2```:`1]로 내분하는 내분점이므로

[eqn: bar \AP `=` {2_`} over {3} bar \AB`]

따라서

[eqn: bar\AQ_` over bar\AC`` =]

그러므로

[eqn: bar \CQ_` over bar \AQ `=` {bar \AC -bar \AQ}_` over {bar \AQ} `=]  	…… ㉡

㉠, ㉡에 의해

[eqn: {bar \CQ}_` over{bar \AR} ``= {bar \CQ}_` over{bar \AQ}` · {bar \AQ}_` over{bar \AR} ` =` {a`+ 2d_`}over{2a` + d}]

위의 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [4점]

(가)	(나)	(다)

①	[eqn: a`+2d]	[eqn: a_` over {3(a`+d`)}`]	[eqn: {2a`+3d }_` over{a}``]

②	[eqn: a`+2d]	[eqn: {a`+d }_` over{2a`+3d}]	[eqn: {a`+2d }_` over{a`+d}``]

③	[eqn: 3(a`+d`)]	[eqn: {a}_` over{2(a`+d`)}]	[eqn: {a`+2d}_` over {a`+d}]

④	[eqn: 3(a`+d`)]	[eqn: a_` over {2(a`+d`)}`]	[eqn: {a`+2d}_` over a``]

⑤	[eqn: 3(a`+d`)]	[eqn: a_` over {3(a`+d`)}`]	[eqn: {2a`+3d }_` over{a}``]

두 점 [eqn: (1,``0),``(0,`-m)]을 지나는 직선이

수리 영역

두 곡선 [eqn: y`=`2`log`x], [eqn: y`=`3log`x`]와 각각 두 점에서 만날 때, [eqn: (1,``0)]이 아닌 교점을 각각 [eqn: ( p ,``2`log p ),``( q ,``3 log q )]라 하자. <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은?

(단, [eqn: m`Ｂ`0,`` p`Ｂ`1,`` q`Ｂ1]이다.) [4점]

	<보 기>
ㄱ. [eqn: p` Ｂ` q] ㄴ. [eqn: m`= {3log q -2`log p }_` over {q `- p }] ㄷ. [eqn: m`Ｂ {3log q}_` over {q }]

① □	② □	③ □, □

④ □, □	⑤ □, □, □

어떤 학생이 [eqn: \MP3] 플레이어를 구입하기 위하여 가격에 대한 정보를 알아보았더니, 현재 제품 [eqn: \A`]의 가격은 [eqn: 24]만원, 제품 [eqn: \B]의 가격은 [eqn: 16]만원이고, [eqn: 3]개월마다 제품 [eqn: \A]는 [eqn: 10%], 제품 [eqn: \B]는 [eqn: 5%]의 가격 하락이 있었다. 이런 추세가 계속된다고 가정할 때, 두 제품의 가격 차이가 구입 시점의 제품 [eqn: \B] 가격의 [eqn: 20%] 이하가 되면 제품 [eqn: \A]를 구입하기로 하였다.

이 학생이 제품 [eqn: \A]를 구입할 수 있는 최초의 시기는?

(단, [eqn: log`2=0.30], [eqn: log`3=0.48], [eqn: log`0.95=-0.02]로 계산한다.) [4점]

① [eqn: 12]개월 후	② [eqn: 15]개월 후	③ [eqn: 18]개월 후

④ [eqn: 21]개월 후	⑤ [eqn: 24]개월 후

한 변의 길이가 [eqn: 1]인 정사각형 모양의 검은 타일과

흰 타일이 있다.

(가) [그림[eqn: 1]]과 같이 검은 타일 [eqn: 3]개와 흰 타일 [eqn: 1]개를 붙여   한 변의 길이가 [eqn: 2]인 정사각형이 되도록 한다.

(나) [그림[eqn: 2]]와 같이 [그림[eqn: 1]]의 정사각형의 바깥쪽에 타일을 붙여 한 변의 길이가 [eqn: 4]인 정사각형이 되도록 한다.    이때 [그림[eqn: 1]]에 있는 흰 타일의 둘레에는 검은 타일을, 검은 타일의 둘레에는 흰 타일을 붙인다.

(다) [그림[eqn: 3]]과 같이 [그림[eqn: 2]]의 정사각형의 바깥쪽에 타일을 붙여 한 변의 길이가 [eqn: 6]인 정사각형이 되도록 한다.    이때 [그림[eqn: 2]]에 있는 흰 타일의 둘레에는 검은 타일을, 검은 타일의 둘레에는 흰 타일을 붙인다.

이와 같은 과정을 계속하여 전체 타일의 개수가 [eqn: 400]개가 되었을 때, 검은 타일의 개수와 흰 타일의 개수 사이의 관계를 옳게 나타낸 것은? [4점]

[그림[eqn: 1]]	[그림[eqn: 2]]	[그림[eqn: 3]]

① 검은 타일과 흰 타일의 개수가 같다.

② 검은 타일의 개수가 흰 타일의 개수보다 [eqn: 18]개 많다.

③ 검은 타일의 개수가 흰 타일의 개수보다 [eqn: 20]개 많다.

④ 흰 타일의 개수가 검은 타일의 개수보다 [eqn: 18]개 많다.

⑤ 흰 타일의 개수가 검은 타일의 개수보다 [eqn: 20]개 많다.

자연수 [eqn: n`]에 대하여 행렬 [eqn: A`=`pmatrix{`n+1``&``1``#n&``2``}]의 역행렬의 모든 성분의 합을 [eqn: a _n`]이라 할 때, [eqn: lim _{n `->` INF } a _n`]의 값은? [3점]

수리 영역

① [eqn: -5]	② [eqn: -3]	③ [eqn: 0]	④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 5]

[eqn: 1]부터 [eqn: 100`]까지의 자연수 중에서 서로 다른 [eqn: 4]개의 수를 선택할 때, [eqn: 4]개의 수 중에서 두 번째로 작은 수가 [eqn: k`]인 경우의 수를 [eqn: a_k`]라 하자. 예를 들어, [eqn: a_98]은 선택된 [eqn: 4]개의 수 중에서 [eqn: 98]보다 작은 수가 한 개이고 [eqn: 98]보다 큰 수가 [eqn: 2]개인 경우의 수이므로 [eqn: a_98 =97]이다. <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은? [4점]

	<보 기>
ㄱ. [eqn: a_3 `=`_2 \C_1 `×`_97 \C_2] ㄴ. [eqn: a_10 `=`a_90] ㄷ. [eqn: sum from { k=2 }^` to { 98 }_` `a_k `=`_100 \C_4]

① □	② □	③ □, □

④ □, □	⑤ □, □, □

그림과 같이 원점과 점 [eqn: \A_0 `(0,`` 12)]를 지름의 양 끝점으로 하는 원의 오른쪽 반원을 [eqn: D_1]이라 하자. 원점을 지나고 기울기가 [eqn: 1]인 직선이 [eqn: D_1]과 제[eqn: 1]사분면에서 만나는 점을 [eqn: \A_1], 점 [eqn: \A_1]에서 [eqn: x`]축에 내린 수선의 발을 [eqn: \B_1]이라 하고, 반원 [eqn: D_1], [eqn: x`]축, 선분 [eqn: \A_1 \B_1]으로 둘러싸인 도형의 넓이를 [eqn: S_1]이라 하자.

선분 [eqn: \A_1 \B_1]을 지름으로 하는 원의 오른쪽 반원을 [eqn: D_2]라 하자. 점 [eqn: \B_1]을 지나고 기울기가 [eqn: 1]인 직선이 [eqn: D_2]와 제[eqn: 1]사분면에서 만나는 점을 [eqn: \A_2], 점 [eqn: \A_2]에서 [eqn: x`]축에 내린 수선의 발을 [eqn: \B_2]라 하고, 반원 [eqn: D_2], [eqn: x`]축, 선분 [eqn: \A_2 \B_2]로 둘러싸인 도형의 넓이를 [eqn: S_2]라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n`]번째 얻은 도형의 넓이를 [eqn: S_n]이라 할 때,[eqn: SUM from { { n}=1} to inf_` S_n`]의 값은? [4점]

① [eqn: 9(4-pi)]	② [eqn: 12(4-pi`)]	③ [eqn: 15(4-pi`)]

④ [eqn: 4(8-pi`)]	⑤ [eqn: 6(8-pi`)]

단 답 형

수리 영역

방정식 [eqn: log_4 (log_2 `x`)= 1]을 만족시키는 [eqn: x`]의 값을 구하시오.

[3점]

다음 순서도에서 인쇄되는 [eqn: c``]의 값을 구하시오. [3점]

두 행렬 [eqn: A `= PMATRIX { { 1}& { -1`}# {0 }& {~~1 } `}], [eqn: B `= PMATRIX { { 1}& { -7`}# {0 }& {-1` } }]에 대하여 [eqn: A^100` B`]의 모든 성분의 합을 구하시오. [3점]

[eqn: 1,``2,``3,``4,``5,``6]을 한 번씩만 사용하여 만들 수 있는 여섯 자리 자연수 중에서 일의 자리의 수와 백의 자리의 수가 모두 [eqn: 3]의 배수인 자연수의 개수를 구하시오. [3점]

다음 연립부등식이 나타내는 영역에서 [eqn: 2^x``4^y`]의 최대값을 구하시오. [4점]

수리 영역

[eqn: x`+3y`□`5]

[eqn: 2x`+y`□`5]

[eqn: x`□`0`,`` y`□`0]

해저에서 발생한 지진이 지진해일을 일으킬 때, 지진해일의 높이가 [eqn: H`` ( \m)]이면 지진해일의 규모 [eqn: M`]은 다음과 같다고 한다.

[eqn: M`=`log _8 ``H`]

어떤 지점에서 지진해일의 높이가 [eqn: a` \m]인 지진해일의 규모는 지진해일의 높이가 [eqn: 9` \m]일 때의 지진해일의 규모의 [eqn: 1.5]배이다. [eqn: a`]의 값을 구하시오. [3점]

그림과 같이 자연수 [eqn: k`]에 대하여 [eqn: [ log_k+1 `x` ]=1]을 만족시키는 자연수 [eqn: x`]를 [eqn: k`]행에 차례로 배열할 때, [eqn: k`]행에 배열된 자연수의 개수를 [eqn: a_k`]라 하자. [eqn: SUM from { { k}=1^`} to 10_` a_k`]의 값을 구하시오.	(단, [eqn: [x`]]는 [eqn: x`]보다 크지 않은 최대의 정수이다.) [4점]

좌표평면 위의 점 [eqn: \P( x`,``y`)]에 대하여 행렬 [eqn: A`= pmatrix{`x``&`~~`y```#y&-x`}]는 [eqn: A`=100A ^-1]을 만족시킨다. 점 [eqn: \P]가 나타내는 도형의 둘레의 길이를 [eqn: a`]라 할 때, [eqn: { a_` } over { pi ``}]의 값을 구하시오. (단, [eqn: A^-1]은 [eqn: A`]의 역행렬이다.) [4점]

5 지 선 다 형

자연수 [eqn: n`]에 대하여 다항식 [eqn: f``(x`)=2^n x^2 +3^n x`+1]을

[eqn: x`-1], [eqn: x`-2]로 나눈 나머지를 각각 [eqn: a_n`,``b_n`]이라 할 때, [eqn: lim from { n`->` INF } `a_n over b_n]의 값은? [3점]

① [eqn: 0]	② [eqn: {1_`} over {4`}]	③ [eqn: {1_`} over {3`}]	④ [eqn: {1_`} over {2`}]	⑤ [eqn: 1]

아열대 해역에 서식하는 수명이 짧은 어류의 성장 정도를 알아보는 방법 중의 하나는 길이[eqn: ( \cm)]를 측정하는 것이다. 이 해역에 서식하는 어떤 물고기의 연령 [eqn: t``]에 따른 길이 [eqn: f``(t`)]를 근사적으로 추정하면 다음과 같다고 한다.

[eqn: f``(t`)=20` LEFT (1-a ^{-0.7( boldt ``+`0.4)} `RIGHT )]

이 물고기의 길이가 [eqn: 16 \cm] 이상 되기 위한 최소 연령은?

(단, [eqn: a`]는 [eqn: a`Ｂ`1]인 상수이고, [eqn: log_a ``5 = 1.4]로 계산한다.) [4점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 1.6]	③ [eqn: 2]	④ [eqn: 2.6]	⑤ [eqn: 3]

자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: log`n`]의 지표와 가수를 각각 [eqn: f``(n`),``g`(n`)]이라 할 때, <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은? [4점]

	<보 기>
ㄱ. [eqn: f``(n`)=g`(n`)]이기 위한 필요충분조건은 [eqn: n=1]이다. ㄴ. [eqn: 10^{ f``(50) } `× 10^{ g`(50) } =50] ㄷ. [eqn: f``(10n`) `g`(10n`)`=`f``(n`) `g`(n`)`+g`(n`)]

① □	② □	③ □, □

④ □, □	⑤ □, □, □

음이 아닌 정수 [eqn: n`]에 대하여 다음 조건을 만족시키는

점의 좌표를 [eqn: \P_n `(a_n ,``b_n `)]이라 하자.

(□) [eqn: a_0 `=`1], [eqn: b_0 `=`0]

(□) 점 [eqn: \P_n+1 (a_n+1 ,``b_n+1 )]은 점 [eqn: \P_n`(a_n`,``b_n`)]에서

원 [eqn: x^2 `+`y^2 `=`1]의 호를 따라 시계 반대 방향으로 [eqn: pi_` over 18]만큼 이동한 점이다.

이때, [eqn: a_n `=`b_n`]을 만족시키는 [eqn: n`]은           .

그리고 [eqn: c_k `=`a_18k ````(k`=`1,`2,`3,`…)]라 하면, 수열 [eqn: \{ c_k \}]는

공비가          인 등비수열이다.

위의 (가), (나)에 알맞은 것은? [4점]

(가)	(나)

① 존재하지 않는다	[eqn: - {1_`} over {2`}]

② 존재하지 않는다	[eqn: - 1]

③ 존재한다	[eqn: - {1_`} over {2`}]

④ 존재한다	[eqn: - 1]

⑤ 존재한다	[eqn: {1_`} over {2`}]

수리 영역

단 답 형

어느 건물에서는 출입을 통제하기 위하여 각 자리가 □[eqn: 0]□과 □[eqn: 1]□로 이루어진 [eqn: 8]자리 문자열의 보안카드를 이용하고 있다. 보안카드의 [eqn: 8]자리 문자열에 □[eqn: 1]□의 개수가 [eqn: 5]개이거나 문자열의 처음 [eqn: 4]자리가 □[eqn: 0110]□이면 이 건물의 출입문을 통과할 수 있다. 예를 들어, 보안카드의 문자열이 □[eqn: 10110011]□이거나 □[eqn: 01100101]□이면 이 건물에 출입할 수 있다. 이 건물의 출입문을 통과할 수 있는 서로 다른 보안카드의 총 개수를 구하시오.

[4점]