수학 영역

나형 정답

1	②	2	③	3	④	4	⑤	5	⑤
6	④	7	①	8	②	9	④	10	①
11	②	12	③	13	②	14	⑤	15	③
16	⑤	17	②	18	①	19	④	20	①
21	③	22	[eqn: 25]	23	[eqn: 500]	24	[eqn: 6]	25	[eqn: 20]
26	[eqn: 3]	27	[eqn: 51]	28	[eqn: 18]	29	[eqn: 32]	30	[eqn: 60]

나형 해설

1. [출제의도] 지수 계산하기

[eqn: 27 TIMES 3 ^{-2} =3 ^{3} TIMES 3 ^{-2} =3 ^{3+(-2)} =3`]

2. [출제의도] 집합의 연산 계산하기

[eqn: LEFT . A SMALLINTER B= LEFT { 3,`5,`7 RIGHT } `]이므로

[eqn: n` LEFT ( A` SMALLINTER B` RIGHT ) =3]

3. [출제의도] 수열의 극한 계산하기

[eqn: lim _{n -> INF } {{8n ^{2} +1} over {2n ^{2} +3n}} = lim _{n -> INF } {{8+ {1} over {n ^{2}}} over {2+ {3} over {n}}} =4`]

4. [출제의도] 로그 계산하기

[eqn: log` _{3} `9+log _{`3} sqrt {3} = 2 + 1 over 2 = {5} over {2} `]

5. [출제의도] 여러 가지 수열의 합 계산하기

[eqn: sum_{k=1}^{5}{left(k+1right)^{2}-sum_{k=1}^{5}{left(k^{2}+k`right)`]

[eqn: =sum_{k=1}^{5}left{{left(k+1)^{2}-left(k^{2}+k)right}`]

[eqn: =sum_{k=1}^{5}{(k+1)}=sum_{k=1}^{5}{k}+sum_{k=1}^{5}{1}`]

[eqn: ={5times6}over{2}+5=20`]

6. [출제의도] 함수의 극한 이해하기

[eqn: lim _{x` -> `1-} {f(x)`+ lim _{x` -> `2+} {f(x)`}} =1+3=4]

7. [출제의도] 절대부등식 이해하기

[eqn: a>0`]이므로 [eqn: 4a>0`], [eqn: 1over{a}>0]

[eqn: 4a+ {1} over {a} ` GEQ 2 sqrt {4a TIMES {1} over {a}} =4`]

(단, 등호는 [eqn: a={1over2}`]일 때 성립한다.)

[eqn: 4a+ {1} over {a} +1` GEQ `4+1`=5]

따라서 [eqn: 4a+ {1} over {a} +1`]의 최솟값은 [eqn: 5`]

8. [출제의도] 무리함수의 그래프 이해하기

[eqn: y=`- sqrt {2x+a} +3`=`- sqrt {2 LEFT ( x+ {a} over {2} RIGHT )} +3`]

이므로 함수 [eqn: y=`- sqrt {2x+a} +3`]의 그래프는
함수 [eqn: y=`- sqrt {2x} `]의 그래프를 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: -{a}over{2}`]만큼, [eqn: y `]축의 방향으로 [eqn: 3`]만큼 평행이동시킨 그래프이다. 주어진 그림에 의하여

[eqn: -{a}over{2} =2], [eqn: b=3]

따라서 [eqn: a+b=(-4)+3=`-1`]

9. [출제의도] 등비수열 이해하기

등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }`]의 첫째항을 [eqn: a`], 공비를 [eqn: r`]라 하면 일반항은 [eqn: a _{n} =ar ^{n-1} `]

[eqn: a _{7} =2{root2}a _{4} `]이므로 [eqn: ar ^{6} =2{root2}ar ^{3} `]([eqn: a>0])

[eqn: r ^{3} =2 sqrt {2} `], 즉 [eqn: r`= sqrt {2} `]

[eqn: a _{2} = sqrt {2} a=2 sqrt {2}`]이므로 [eqn: a=2]

따라서 [eqn: `a _{8} =`16root2`]

10. [출제의도] 수열의 귀납적 정의 추론하기

[eqn: a _{1} = {2} over {5} `], [eqn: a _{2} =2 TIMES {2over5}= {4} over {5} `], [eqn: a _{3} =2 TIMES {4} over {5} = {8} over {5} `]

[eqn: a _{4} =`- {8} over {5} +2= {2} over {5} ``], [eqn: a _{5} =2 TIMES {2} over {5} = {4} over {5} `], [eqn: CDOTS `]

[eqn: k=0`], [eqn: 1`], [eqn: 2`], [eqn: CDOTS `]에 대하여

[eqn: a _{3k+1} `=` {2} over {5} `], [eqn: a _{3k+2} `=` {4} over {5} `], [eqn: a _{3(k+1)} `=` {8} over {5} `]

따라서

[eqn: a _{4} +a _{17} `=a _{3 TIMES 1+1} +a _{3 TIMES 5+2} = {2} over {5} + {4} over {5} = {6} over {5}`]

11. [출제의도] 로그의 성질 이해하기

[eqn: LEFT . a _{n} =log`` LEFT ( 1+ {1} over {n} RIGHT ) `=log` LEFT ( {n+1} over {n} RIGHT ) ` RIGHT .]이므로

[eqn: sum _{n=1} ^{99} a _{n} `][eqn: =log {2} over {1} +log {3} over {2} +log {4} over {3} + CDOTS +log {100} over {99} `]

[eqn: =log` LEFT ( {2} over {1} TIMES {3} over {2} TIMES {4} over {3} TIMES CDOTS times {100} over {99} RIGHT ) `][eqn: =log`100=2`]

12. [출제의도] 집합의 연산법칙 이해하기

[eqn: LEFT ( X-A` RIGHT ) SUBSET LEFT ( A-X` RIGHT ) `]에서

[eqn: LEFT . LEFT ( X`-A RIGHT ) SMALLINTER (A-X RIGHT ) `=X`-A`]이고

[eqn: LEFT . LEFT ( X`-A RIGHT ) SMALLINTER (A-X RIGHT ) `=][eqn: LEFT . LEFT ( X` SMALLINTER A ^{C} ` RIGHT ) SMALLINTER (A` SMALLINTER X ^{C} ` RIGHT ) `]

[eqn: =LEFT ( A SMALLINTER A ^{C} `RIGHT )` SMALLINTER LEFT (X` SMALLINTER X ^{C} ` RIGHT ) `]

[eqn: =emptyset`]이므로

[eqn: LEFT . EMPTYSET ` RIGHT . =X-A`], 즉 [eqn: X` SUBSET A`]

[eqn: A= LEFT { 1,~2,~5,~10 RIGHT } `]이므로 [eqn: n(A)=4`]

따라서 집합 [eqn: X`]는 집합 [eqn: A`]의 부분집합이므로

모든 집합 [eqn: X`]의 개수는 [eqn: 2 ^{4} =16`]

13. [출제의도] 로그의 성질을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

[eqn: log _{`2} ` LEFT ( a ^{2} +ab+b ^{2} RIGHT ) `=`1+log _{`2} ` LEFT ( a ^{2} -ab+b ^{2} RIGHT ) `]

[eqn: log _{`2} ` LEFT ( a ^{2} +ab+b ^{2} RIGHT ) `=`log _{`2} `2` LEFT ( a ^{2} -ab+b ^{2} RIGHT ) `]

[eqn: a^2 +ab+b^2 `=`2` LEFT ( a^2 -ab+b^2 RIGHT )`]

[eqn: a^2 -3ab+b^2 `=`0]

[eqn: a^2 +b^2 `=`3ab`]

따라서 [eqn: b over a `+`a overb `=`{a^2 +b^2 }overab `=`3]

14. [출제의도] 극한으로 표현된 함수의 연속성 이해하기

(i) [eqn: 0<`x`<1`]인 경우

[eqn: lim _{n -> INF } {`x ^{n}} `=0`]이므로

[eqn: f(x)`=` lim _{n -> INF } {{ax ^{n+1} -2a-1} over {2x ^{n} +3}} `][eqn: = {-2a-1} over {3} `]

(ii) [eqn: `x=1`]인 경우
[eqn: f(1)= {a-2a-1} over {2+3} = {-a-1} over {5}]

(iii) [eqn: x`>1`]인 경우
[eqn: lim _{n -> INF } {`x ^{n} = INF `]이므로 [eqn: lim _{n -> INF } {} {1} over {x ^{n}} =0]
[eqn: f(x)`=` lim _{n -> INF } {{ax ^{n+1} -2a-1} over {2x ^{n} +3}} `]
[eqn: = lim _{n -> INF } {{ax- {2a+1} over {x ^{n}}} over {2+ {3} over {x ^{n}}} = {a} over {2} x}]

[eqn: x=1`]에서 연속이므로

[eqn: lim _{x-> 1+} {f(x)= lim _{x-> 1-} {f(x)=f(1)`}}]

[eqn: {a} over {2} = {-2a-1} over {3} = {-a-1} over {5}]

따라서 [eqn: a=`- {2} over {7} `]

15. [출제의도] 지수법칙 이해하기

[eqn: 2 ^{a} =3 ^{b} =k``][eqn: left(`][eqn: k>1][eqn: `right)`]이라 놓으면

[eqn: 2=k ^{{1} over {a}} `], [eqn: 3=k ^{{1} over {b}} `]

[eqn: (a-2)(b-2)=4`]에서 [eqn: {a+b}over{ab}={1}over{2}]

[eqn: k ^{{1} over {a}} TIMES k ^{{1} over {b}} =k ^{{a+b} over {ab}} =k ^{{1over2}} =6`]

따라서 [eqn: 4 ^{a} TIMES 3 ^{-b} = {LEFT ( 2 ^{a} RIGHT ) ^{2}} over {3 ^{b}} = {k ^{2}} over {k} =k=36`]

(별해)

[eqn: 2 ^{a} =3 ^{b} =k`][eqn: left(`][eqn: k>1][eqn: `right)`]이라 놓으면

[eqn: a=log` _{2} `k`], [eqn: b=log` _{3} `k]

[eqn: (a-2)(b-2)=(log` _{2} `k-2)(log` _{3} `k-2)]

[eqn: =log _{`2} `k times`log _{`3} `k-2log _{`2} `k-2log` _{3} `k+4=4]

[eqn: log _{`2} `k times`log` _{3} `k-2(log` _{2} `k+log` _{3} `k)=0]

[eqn: {log` _{2} `k+log` _{3} `k} over {log` _{2} `k times`log _{`3} `k} = {1} over {2}]

[eqn: {1} over {log` _{2} `k} + {1} over {log` _{3} `k} = {1} over {2}]

[eqn: log _{`k} `2+log _{`k} `3=log _{`k} `6= {1} over {2}`], 즉 [eqn: k ^{{1} over {2}} =6]

따라서 [eqn: 4 ^{a} TIMES 3 ^{-b} = {LEFT ( 2 ^{a} RIGHT ) ^{2}} over {3 ^{b}} = {k ^{2}} over {k} =k=36`]

16. [출제의도] 함수의 극한 성질을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

조건 (가)에 의하여 다항함수 [eqn: f(x)`]는 최고차항의 계수가 [eqn: 2`]인 이차함수이다. [eqn: CDOTS `]①

조건 (나)에 의하여 [eqn: lim _{x` -> ``0} {` {f` LEFT ( x RIGHT )} over {x ^{2} +x}} =`-1`]에서 극한값이 존재하고 [eqn: x` -> `0`]일 때,

(분모)[eqn: -> `0`]이므로 (분자)[eqn: -> `0]

즉 [eqn: lim _{x -> 0} {f(x)=f(0)=0`}] [eqn: CDOTS `]②

①, ②에 의하여 [eqn: f(x)=2x ^{2} +ax`]라 하면 [eqn: lim _{x` -> `0} {` {f` LEFT ( x RIGHT )} over {x` ^{2} `+`x}} = lim _{x` -> `0} {{x(2x+a)} over {x(x+1)}} =a=`-1`]

즉 [eqn: f(x)=2x ^{2} -x`]

따라서 [eqn: f(3)=15`]

17. [출제의도] 함수의 극한을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =1`]과 곡선 [eqn: y= sqrt {x+1} `]이 직선 [eqn: x=t`]([eqn: 0<t<1`])과 만나는 점은 각각

[eqn: {rmP}left(`t,`root{1-t ^{2} }`right)], [eqn: rm Q it LEFT ( `t,` sqrt {t ^{`} +1} ` RIGHT )]

[eqn: S(t)= {1} over {2} TIMES t TIMES {bar{rm PQ it}} `][eqn: = {t LEFT ( sqrt {t ^{`} +1} - sqrt {1-t ^{2}} RIGHT )} over {2} `]

[eqn: lim _{t` -> `0+} {{S` LEFT ( t RIGHT )} over {t ^{2}}} = lim _{t` -> `0+} {{t LEFT ( sqrt {t ^{`} +1} - sqrt {1-t ^{2}} RIGHT )} over {2t ^{2}}}]

[eqn: = lim _{t -> 0+} {{t ^{2} +t} over {2t LEFT ( sqrt {t ^{`} +1} + sqrt {1-t ^{2}} RIGHT )}}]

[eqn: = lim _{t -> 0+} {{t+1} over {2 LEFT ( sqrt {t ^{`} +1} + sqrt {1-t ^{2}} RIGHT )} = {1} over {4}}]

18. [출제의도] 등비급수의 합 추론하기

[eqn: p ^{n} +3p ^{n-1} +3 ^{2} p ^{n-2} +` CDOTS `+3 ^{n-1} p+3 ^{n} `]은

첫째항이 [eqn: p ^{n} `], 공비가 [eqn: {BOX{~ {3} over {p} ~}} `]인 등비수열의

첫째항부터 제[eqn: (n+1)`]항까지의 합이고, [eqn: p != 3`]이므로

[eqn: p ^{n} +3p ^{n-1} +3 ^{2} p ^{n-2} +` CDOTS `+3 ^{n-1} p+3 ^{n} `]

[eqn: = {p ^{n+1} -3 ^{n+1}} over {{BOX{~p-3~}}} `]이다.

[eqn: 0< {p} over {p+3} <1`], [eqn: 0< {3} over {p+3} <1`]이므로

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } {p ^{n} +3p ^{n-1} +3 ^{2} p ^{n-2} +` CDOTS `+3 ^{n-1} p+3 ^{n}} over {(p+3) ^{n}} `]

[eqn: = sum _{n=1} ^{INF } {p ^{n+1} -3 ^{n+1}} over {left(`{BOX{~p-3~}`right)} TIMES (p+3) ^{n}} `]

[eqn: = {1} over {{BOX{~p-3~}}} LEFT { `p` sum _{n=1} ^{INF } ` LEFT ( {p} over {p+3} RIGHT ) ^{n} -3 sum _{n=1} ^{INF } ` LEFT ( {3} over {p+3} RIGHT ) ^{n} ` RIGHT } `]

[eqn: = {p ^{2} +3p+ {BOX{~9~}}} over {3p} `]이다.

[eqn: f(p)={3}over{p}`], [eqn: g(p)=p-3`], [eqn: k=9`]

따라서 [eqn: {f(9)} times {g(9)} = 2`]

19. [출제의도] 등비급수를 활용하여 수학 내적 문제 해결하기

다음은 그림 [eqn: R _{1} `]이다.

[eqn: rm R]

[eqn: rm A]

[eqn: rm B]

[eqn: rm O]

[eqn: rm P]

[eqn: rm Q]

호 [eqn: rmAB] 위에 [eqn: ANGLE rm ROA=90 DEG]인 점을 [eqn: rmR]라 하자.

점 [eqn: rm O`]를 중심으로 하는 부채꼴 [eqn: rm POR]와 점 [eqn: rmP`]를 중심으로 하는 부채꼴 [eqn: rm RPO]는 합동이다.

부채꼴 [eqn: rm POR`]에서 정삼각형 [eqn: rm RPO`]를 제외한 도형과 부채꼴 [eqn: rm RPO]에서 정삼각형 [eqn: rm RPO`]를 제외한 도형의 넓이가 같으므로 그림 [eqn: R _{1}`]에서 색칠된  모양의 도형의 넓이는 정삼각형 [eqn: rm RPO`]의 넓이의 [eqn: 2`]배와 같다.

[eqn: rm ANGLE ROP=60 DEG]이므로
[eqn: S _{1} =2 TIMES LEFT ( {1} over {2} TIMES 2 TIMES sqrt {3} RIGHT ) =2 sqrt {3}]

다음은 그림 [eqn: R _{`n+1}`]의 일부이다. ([eqn: n GEQ 1])

[eqn: rm A]

[eqn: rm O _{rm {itn}}]

[eqn: rm O _{itn+1}]

[eqn: rm P _{itn}]

[eqn: rm M _{itn}]

[eqn: 30 DEG]

[eqn: it `r _{n+1}]

[eqn: itr _{n}]

그림 [eqn: R _{`n}`]에서 새로 그려진 지름의 한 끝점을 점 [eqn: rm A`]로 하는 반원의 중심을 [eqn: rm `O _{it n rm} `], 반지름의 길이를 [eqn: r _{n} `],

[eqn: rm ANGLE P _{it n rm} O _{it n rm} A=30 DEG `]인 점을 [eqn: rm P _{it `n rm} `]이라 하자.

(단, [eqn: rm `O= rm `O _{1} `], [eqn: rm `P=P _{1} `])

그림 [eqn: R _{`n+1} `]에서 새로 그려진 지름의 양 끝점은 선분 [eqn: rm A rm O _{it `n rm} rm `] 위에 있고 선분 [eqn: rm P _{it n rm} O _{it `n rm} `]에 접하도록 그린 가장 큰 반원의 중심을 [eqn: rm O _{it n+1 rm} `], 반지름의 길이를 [eqn: r _{n+1} `], 점 [eqn: rm O _{it n+1 rm} `]에서 선분 [eqn: rm P _{it n rm} O _{it `n rm} `]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm M _{itn}]이라 하면

[eqn: {rm {bar{O _{it n+1 rm} M it rm _{n} rm}} it} over {rm {bar{O _{it n+1 rm} O _{it n rm}}} it} = {r _{n+1}} over {r _{n} -r _{n+1}} = {1} over {2} `], [eqn: r _{n+1} = {1} over {3} r _{n}]

그림 [eqn: R _{`n} `]에서 새로 그려진  모양의 도형 한 개의 넓이를 [eqn: a _{n} `]이라 하면 [eqn: a _{n+1} = {1} over {9} a _{n} `]이다.

그림 [eqn: R _{`n+1} `]에서 새로 그려진  모양의 도형의 개수는 그림 [eqn: R _{`n} `]에서 새로 그려진  모양의 도형의 개수의 [eqn: 2`]배이다.

그러므로 [eqn: S _{n}]은 첫째항이 [eqn: 2 sqrt {3} `]이고 공비가 [eqn: {2} over {9} `]인 등비수열의 첫째항부터 제[eqn: n`]항까지의 합이다.
따라서 [eqn: lim _{n` -> ` INF } {S _{n`}} = {2 sqrt {3}} over {1- {2} over {9}} = {2 sqrt {3}} over {{7} over {9}} = {18 sqrt {3}} over {7}]

20. [출제의도] 사이값 정리를 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

함수 [eqn: y=f(x)`]의 그래프는 두 가지 경우로 나눌 수 있다.

(i) [eqn: a > 2`]인 경우	(ⅱ) [eqn: 0<a<2`]인 경우
[eqn: a] [eqn: x] [eqn: 2] [eqn: 0] [eqn: 1+ {a} over {2}]	[eqn: 2] [eqn: x] [eqn: a] [eqn: 1+ {a} over {2}] [eqn: 0]

(i) [eqn: a>2`]인 경우

함수 [eqn: f(x)`]는 [eqn: 0<x<1+{a}over{2}`]인 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: f(x)>0`]이므로 조건 (가)를 만족시키지 않는다.

(ii) [eqn: 0<a<2`]인 경우

함수 [eqn: f(x)`]는 닫힌 구간 [eqn: LEFT [ `0,~1+ {a} over {2} RIGHT ] `]에서 연속이고, [eqn: f(0)>0`], [eqn: f` LEFT ( 1+ {a} over {2} RIGHT ) `<0`]이므로 사이값 정리에 의하여 [eqn: 0`]과 [eqn: 1+{a}over{2}] 사이에 [eqn: f(c)=0`]인 [eqn: c `]가 적어도 하나 존재한다.

조건 (나)에 의해 [eqn: 0<a<2`]인 경우의 삼각형의 넓이는

[eqn: {1} over {2} TIMES (2-a) TIMES left{- f` LEFT ( 1+ {a} over {2} RIGHT ) right}`]

[eqn: =- {1} over {2} times(2-a)times LEFT ( {a-2} over {2} RIGHT ) LEFT ( {2-a} over {2} ` RIGHT )]

[eqn: ={1over8}(2-a) ^{3} ={1over8}]

[eqn: (2-a) ^{3} =1`], 즉 [eqn: a=1`]

따라서 [eqn: f(3a)=f(3)=2`]

21. [출제의도] 등차수열을 이용하여 추론하기

ㄱ. [eqn: rm P it rm _{1} (0,~0)`], [eqn: rm P it rm _{2} (x _{2} ,~x _{2} ^{````2} )`]이고

직선 [eqn: rm P it rm _{1} rm P it rm _{2} ` it]의 기울기가 [eqn: a _{1} `]이므로

[eqn: a _{1} = {x _{2} ^{````2} -0} over {x _{2} -0} =x _{2} =3`] (참)

ㄴ. 직선 [eqn: rm P _{it n rm} rm P _{it n+1 rm} `]의 기울기 [eqn: a _{n} `]은

[eqn: a _{n} = {x _{it n+1} ^{~~~~2} -x _{it n} ^{~2}} over {x _{it n+1} -x _{it n}} =x _{it n+1} +x _{n} `]

조건 (나)에 의하여

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]은 첫째항이 [eqn: 3`]이고,

공차가 [eqn: d`][eqn: (d>3)`]인 등차수열이므로

[eqn: a _{n} =x _{n+1} +x _{n} =3+(n-1)d`]  [eqn: cdots] ①

①에서 [eqn: n=1`], [eqn: 2`], [eqn: 3`], [eqn: CDOTS `]을 차례로 대입하면

[eqn: x _{2} =3`], [eqn: x _{3} =d`], [eqn: x _{4} =3+d`], [eqn: x _{5} =2d`], [eqn: CDOTS `]

[eqn: x _{2n} =3+(n-1)d`], [eqn: x _{2n-1} =(n-1)d`]이므로 [eqn: x _{20} =3+9d`], [eqn: x _{19} =9d`]

[eqn: x _{20} =x _{19} +3`] (거짓)

ㄷ. [eqn: sum _{k=1} ^{10} LEFT ( x _{2k+1} -x _{2k} RIGHT ) `]

[eqn: =(x _{3} -x _{2} )+(x _{5} -x _{4} )+` CDOTS `+(x _{21} -x _{20} )`]

[eqn: =(d-3)+(d-3)+` CDOTS `+(d-3)``]

[eqn: =10(d-3)` LEQ 100`]

[eqn: d LEQ 13`]이므로 [eqn: d`]의 최댓값은 [eqn: 13`] (참)

따라서 <보기>에서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ

22. [출제의도] 명제가 참일 때 조건 이해하기

명제 ‘[eqn: x=5`]이면 [eqn: x ^{2} =a`]이다.’가 참이 되기 위해서는 [eqn: 5 ^{2} =25`]이므로 [eqn: a`]의 값은 [eqn: 25`]

23. [출제의도] 합성함수 이해하기

[eqn: LEFT ( f` CIRC g RIGHT ) ` LEFT ( x RIGHT ) `][eqn: =`f` LEFT ( g` LEFT ( x RIGHT ) RIGHT )][eqn: =`a` LEFT ( {1} over {2} `x`+b RIGHT ) `-`6`]

[eqn: =` {1} over {2} ax+ ab-6 =x]

항등식의 성질에 의하여

[eqn: {1} over {2} a`=1`], [eqn: ab`-6`=`0]

즉 [eqn: a`=`2`], [eqn: b=3]

따라서 [eqn: 100(a+b)`=`500`]

24. [출제의도] 급수의 수렴과 수열의 극한값 사이의 관계 이해하기

급수 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } LEFT ( {2n} over {12n+3} a _{n} -1 RIGHT ) `]이 수렴하므로

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {LEFT ( {2n} over {12n+3} a _{n} -1 RIGHT )} =0], [eqn: lim _{n` -> ` INF } { {2n} over {12n+3} a _{n} } =1]

수열 [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT } `]을 [eqn: b _{n} = {2n} over {12n+3} a _{n} `]이라 하면 [eqn: lim _{n` -> ` INF } {b _{n}} =1], [eqn: a _{n} = {12n+3} over {2n} b _{n} `]이므로

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {a _{n}} = lim _{n` -> ` INF } {LEFT ( {12n+3} over {2n} b _{n} RIGHT )}]

[eqn: = lim _{n` -> INF } {{12n+3} over {2n} TIMES lim _{n -> INF `} {b _{n}}} =6]

25. [출제의도] 함수의 미분가능성 이해하기

(i) 함수 [eqn: f(x)`]가 [eqn: x=2`]에서 미분가능하므로 [eqn: x=2`]에서 연속이다.

[eqn: lim _{x` -> `2+} {`f(x)= lim _{x` -> `2-} {`f(x)=f(2)}}`]이므로

[eqn: 10a-12=8+2a+b`]

즉 [eqn: 8a-b=20`]

(ii) 함수 [eqn: f(x)`]가 [eqn: x=2`]에서 미분가능하므로

미분계수 [eqn: f`'(2)`]가 존재한다.

[eqn: lim _{h -> 0-} {} {f(2+h)-f(2)} over {h}]

[eqn: = lim _{h -> 0-} {{LEFT { 2(2+h) ^{2} +a(2+h)+b` RIGHT } -(10a-12)} over {h}}]

[eqn: =8+a]

[eqn: lim _{h -> 0+} {} {f(2+h)-f(2)} over {h}]

[eqn: = lim _{h -> 0+} {{left{5a(2+h)-12right}-(10a-12)} over {h}}]

[eqn: =5a]

[eqn: lim _{h -> 0-} {} {f(2+h)-f(2)} over {h}=lim _{h -> 0+} {} {f(2+h)-f(2)} over {h}]

이므로 [eqn: 8+a=5a`], 즉 [eqn: a=2`], [eqn: b=`-4`]

따라서 [eqn: a ^{2} +b ^{2} =20]

26. [출제의도] 필요조건을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

두 조건 [eqn: p`], [eqn: q`]의 진리집합을 각각 [eqn: P`], [eqn: Q`]라 하면 [eqn: P= LEFT { `x`` LEFT □ ` {3} over {2} -a LEQ x LEQ {3} over {2} +a` RIGHT } ` RIGHT .],[eqn: Q= LEFT { `x`` LEFT □ - {3} over {2} LEQ x LEQ 2` RIGHT } ` RIGHT .]이고 [eqn: p`]는 [eqn: q`]이기 위한 필요조건이므로 [eqn: Q SUBSET P`]

두 집합 [eqn: P`], [eqn: Q`]를 수직선 위에 나타내면 그림과 같다.

[eqn: {3} over {2} -a]

[eqn: {3} over {2} +a]

[eqn: - {3} over {2}]

[eqn: 2]

[eqn: x]

[eqn: P]

[eqn: Q]

[eqn: {3} over {2} -a` LEQ - {3} over {2}`], [eqn: 2 LEQ {3} over {2} +a`]이므로

[eqn: a` ge `3`], [eqn: a ge 1over2`], 즉 [eqn: a` ge `3]

따라서 [eqn: a`]의 최솟값은 [eqn: 3]

27. [출제의도] 거듭제곱근 추론하기

(i) [eqn: n=2`]일 때

[eqn: (7-4) ^{3} `]의 제곱근 중에서 실수인 것의 개수는 [eqn: 2`]이므로 [eqn: f(2)=2`]

(ii) [eqn: n=3`]일 때

[eqn: (7-6) ^{3} `]의 세제곱근 중에서 실수인 것의 개수는 [eqn: 1`]이므로 [eqn: f(3)=1`]

(iii) [eqn: n GEQ 4`]일 때

[eqn: (7-2n) ^{3} <0`]이므로

[eqn: n=4`], [eqn: 6`], [eqn: 8`], [eqn: CDOTS `], [eqn: 100`]일 때, [eqn: f(n)=0`]

[eqn: n=5`], [eqn: 7`], [eqn: 9`], [eqn: CDOTS `], [eqn: 99`]일 때, [eqn: f(n)=1`]

따라서 [eqn: sum _{n=2} ^{100} f(n)=51]

28. [출제의도] 유리함수를 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

[eqn: {bar{rm AP it}} = {bar{rm BP it}} `]이므로 점 [eqn: rmP`]는 직선 [eqn: y=x]

위의 점 [eqn: rm P it (a,``a)`]이다.

[eqn: f(a)= {2a} over {6a-9} =a`], 즉 [eqn: a= {11} over {6} `]

[eqn: rmP`left({11}over{6},~{11}over{6}right)`]

[eqn: {bar{rm CQ it}} = {bar{rm DQ it}} `]이므로 점 [eqn: rm Q`]는 직선 [eqn: y=`-x`]

위의 점 [eqn: rm Q it (b,``-b)`]이다.

[eqn: f(b)= {2b} over {6b-9} =`-b`], 즉 [eqn: b= {7} over {6} `]

[eqn: rm Q` LEFT ( {7} over {6} ,~- {7} over {6} RIGHT ) `]

[eqn: {bar{rm OP it}} `:` {bar{rm OQ` it}} = {bar{rm OA it}} `:` {bar{rm OC it}} =11:7`]이므로

[eqn: m=11`], [eqn: n=7`]

따라서 [eqn: m+n=18`]

29. [출제의도] 수열의 극한을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: 2 ^{n}]

[eqn: 2]

[eqn: 1]

[eqn: 2]

[eqn: 3]

[eqn: 2 ^{n}]

[eqn: -2 ^{n}]

[eqn: rmO]

[eqn: CDOTS]

[eqn: CDOTS]

[eqn: CDOTS]

[eqn: CDOTS]

[eqn: 2 ^{n}-1]

조건 (가)에 의하여 [eqn: b=2`], [eqn: a != 0`]

조건 (나)에 의하여

[eqn: a`]는 [eqn: -2 ^{n} LEQ a LEQ -1`], [eqn: 1 LEQ a LEQ 2 ^{n} `]인 정수

(i) [eqn: 1 LEQ a LEQ 2 ^{n} `]인 경우

모든 삼각형 [eqn: rm ABC`]의 넓이의 합은

[eqn: {1} over {2} TIMES (2 ^{n} -2) TIMES LEFT { 1+2+3+ CDOTS +(2 ^{n} -1)+2 ^{n} RIGHT }]

[eqn: = {1} over {2} times(2 ^{n} -2)times {2 ^{n} (1+2 ^{n} )} over {2}]

[eqn: = {1} over {4} (8 ^{n} -4 ^{n} -2 ^{n+1} )`]

(ii) [eqn: -2 ^{n} LEQ a LEQ -1`]인 경우

모든 삼각형 [eqn: rm ABC`]의 넓이의 합은 (i)과 같다.

(i), (ii)에 의하여

[eqn: S` _{n} =2` TIMES {1} over {4} (8 ^{n} -4 ^{n} -2 ^{n+1} )`]

[eqn: = {1} over {2} (8 ^{n} -4 ^{n} -2 ^{n+1} )`]

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {{S` _{n}} over {8 ^{n-2}} = {1} over {2} lim _{n` -> ` INF } {{8 ^{n} -4 ^{n} -2 ^{n+1}} over {8 ^{n-2}}} `}]

[eqn: = {1} over {2} lim _{n` -> ` INF } {{1- {1} over {2 ^{n}} - {2} over {4 ^{n}}} over {{1over64}}} =32`]

30. [출제의도] 함수의 연속성을 활용하여 수학 내적 문제 해결하기

함수 [eqn: y=g(x)`]의 그래프는 함수 [eqn: y=f(x)`]의 그래프에서 [eqn: x GEQ 0`]인 부분에서의 그래프를 [eqn: y`]축에 대하여 대칭이동시킨 그래프이므로 다음과 같은 [eqn: 6`]가지 경우의 그래프의 개형을 갖는다.

①	[eqn: y]	②	[eqn: y]	③	[eqn: y]
④	[eqn: y]	⑤	[eqn: y]	⑥	[eqn: y]

함수 [eqn: h(t)`]가 조건 (가)의 [eqn: h(2)<h(-1)<h(0)`]을 만족시키는 경우는 다음의 [eqn: 4`]가지이다.

[eqn: h(2)]	[eqn: h(-1)]	[eqn: h(0)]
[eqn: 2]	[eqn: 3]	[eqn: 4]
[eqn: 0]	[eqn: 3]	[eqn: 4]
[eqn: 0]	[eqn: 2]	[eqn: 4]
[eqn: 0]	[eqn: 2]	[eqn: 3]

즉, 함수 [eqn: y=g(x)`]의 그래프의 개형은 ④의 경우가 유일하다.

[eqn: h(t)=3`]을 만족시키는 [eqn: t`]를 [eqn: alpha`], [eqn: h(t)=2`]를 만족시키는 [eqn: t`]를 [eqn: beta`]([eqn: alpha< beta])라 하면, 함수 [eqn: y=g(x)`]의 그래프와 함수 [eqn: y=h(t)`]의 그래프의 개형은 다음과 같다.

[eqn: alpha]

[eqn: y]

[eqn: h(t)=0]

[eqn: h(t)=2]

[eqn: h(t)=4]

[eqn: h(t)=3]

[eqn: h(t)=2]

[eqn: beta]

[eqn: y=g(x)]

[eqn: alpha]

[eqn: rm O]

[eqn: y]

[eqn: 4]

[eqn: 2]

[eqn: 3]

[eqn: beta]

[eqn: t]

[eqn: y=h(t)]

(단, [eqn: -1 LEQ alpha LEQ0, ````0< beta LEQ2])

조건 (나)에서 함수 [eqn: (t ^{2} -t)h(t)]가 모든 실수 [eqn: t`]에서 연속이려면 [eqn: t= alpha `], [eqn: t=beta`]에서 연속이어야 한다.

[eqn: t= alpha `]에서 연속이어야 하므로

[eqn: lim _{t` -> ` alpha +} {(t ^{2} -t)h(t)} = lim _{t` -> ` alpha -} {(t ^{2} -t)h(t)}]

[eqn: =( alpha ^{2} - alpha )h( alpha )]

에서 [eqn: alpha^2 - alpha=0], 즉 [eqn: alpha=0, ```1]

또, [eqn: t= beta]에서 연속이어야 하므로

[eqn: lim _{t` -> ` beta +} {(t ^{2} -t)h(t)} = lim _{t` -> ` beta -} {(t ^{2} -t)h(t)}]

[eqn: =(beta ^{2} -beta)h(beta)]

에서 [eqn: beta ^2 - beta =0], 즉 [eqn: beta =0, ```1]

[eqn: alpha=0, ``` beta=1]이므로 함수 [eqn: h(t)]는 다음과 같다.

[eqn: h(t)``=`` {cases{``0`````(t>1)#``2``````(t=1)#``4`````(0<t<1)#``3`````(t=0)#``2`````(t<0)}}]

이를 만족시키는 이차함수 [eqn: f(x)`]는 원점을 지나고 제[eqn: 1]사분면에서 최댓값이 [eqn: 1]인 위로 볼록한 함수이다.

즉 [eqn: f(x)=a(x-b) ^{2`} +1`] [eqn: (a<0,```b>0)]

[eqn: f(0)=0`]이므로 [eqn: ab ^{2} =`-1]

[eqn: a=- {1} over {b ^{2}} `]이고 [eqn: a`]는 정수이므로 [eqn: b ^{2} =1]

즉 [eqn: b=1`]이므로 [eqn: a=`-1`]

[eqn: f(x)=`-(x-1) ^{2`} +1=`-x ^{2} +2x`]

따라서 [eqn: 80f LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) =80 TIMES {3} over {4} =60`]