• 수학 영역 [가형] •

정 답

1	④	2	①	3	④	4	⑤	5	②
6	②	7	③	8	③	9	④	10	⑤
11	⑤	12	①	13	③	14	③	15	②
16	④	17	①	18	①	19	②	20	⑤
21	②	22	5	23	16	24	23	25	105
26	33	27	14	28	26	29	12	30	219

해 설

1. [출제의도] 지수 계산하기

[eqn: LEFT ( root {3} of {8} RIGHT ) ^{2} `= LEFT ( root {3} of {2 ^{3}} RIGHT ) ^{2} =2 ^{2} =4`]

2. [출제의도] 집합의 연산을 이용하여 집합의 원소들의 합 계산하기

[eqn: A= LEFT { 1,`2,`3,`4,`5 RIGHT }], [eqn: B= LEFT { `4,`5,`6 RIGHT } `]이므로

[eqn: A-B`= LEFT { 1,`2,`3 RIGHT }`]이다.
따라서 집합 [eqn: A-B`]의 모든 원소의 합은 [eqn: 6]이다.

3. [출제의도] 수열의 극한 계산하기

[eqn: lim _{n` -> `` INF } {` {6n ^{2}} over {LEFT ( n+1 RIGHT ) LEFT ( n+2 RIGHT )}} ` & = lim _{n` -> `` INF } {` {6n ^{2}} over {n ^{2} +3n+2}}]                                  [eqn: = lim _{n -> ` INF } {{6} over {1+ {3} over {n} + {2} over {n ^{2}}}} =6]

4. [출제의도] 여러 가지 수열의 합 이해하기

[eqn: sum _{k=1} ^{10} LEFT ( 2a _{k} +b _{k} RIGHT ) ` & =2 sum _{k=1} ^{10} a _{k} + sum _{k=1} ^{10} b _{k}][eqn: =2 TIMES 7+ sum _{k=1} ^{10} b _{k} =38]

이므로 [eqn: sum _{k=1} ^{10} b _{k} =38-14=24`]이다.

5. [출제의도] 합성함수 이해하기

[eqn: LEFT ( f` ^{-1} CIRC g RIGHT ) (4)=f` ^{-1} LEFT ( g LEFT ( 4 RIGHT ) RIGHT ) `=`f` ^{-1} LEFT ( 6 RIGHT ) `=`2]

6. [출제의도] 함수의 극한 이해하기

[eqn: lim _{x` ->` 0-} {`f LEFT ( x RIGHT ) `} + lim _{x `->` 2} {`f LEFT ( x RIGHT )} =1+ LEFT ( -2 RIGHT ) =`-1]

7. [출제의도] 유리함수의 그래프 이해하기

함수 [eqn: y= {ax} over {2x-1} `= {{a} over {2}} over {2x-1} + {a} over {2}`]의 그래프의 점근선의 방정식은 [eqn: x= {1} over {2}], [eqn: y= {a} over {2}`]이다.
그러므로 두 점근선이 만나는 점의 좌표는 [eqn: LEFT ( {1} over {2} ,` {a} over {2} RIGHT )`]이므로 [eqn: LEFT ( {1} over {2} ,` {a} over {2} RIGHT ) = LEFT ( b,` {1} over {2} RIGHT )`]이다.   [eqn: THEREFORE a=1], [eqn: b= {1} over {2}]

따라서 [eqn: a+b=1+ {1} over {2} = {3} over {2}`]이다.

8. [출제의도] 명제의 충분조건 이해하기

두 조건 [eqn: p], [eqn: q`]의 진리집합을 각각 [eqn: P`], [eqn: Q`]라 하자.

[eqn: p`]가 [eqn: q`]이기 위한 충분조건이 되려면 [eqn: P SUBSET Q`]이어야 한다.

[eqn: p`]: [eqn: x ^{2} `-7x`+10`= LEFT ( x-2 RIGHT ) LEFT ( x-5 RIGHT ) `le0]
[eqn: P`=` LEFT { x``□``2 LEQ `x` LEQ 5` RIGHT } `]

[eqn: q`]: [eqn: LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x-a RIGHT ) ` LEQ `0]

[eqn: Q`=` LEFT { `x``□``-1` LEQ `x` LEQ `a RIGHT } `]

이때 [eqn: P` SUBSET `Q`]이므로 아래 그림과 같이 [eqn: a GEQ 5`]이다.  따라서 자연수 [eqn: `a`]의 최솟값은 [eqn: 5]이다.

[eqn: Q]

[eqn: P]

[eqn: -1]

[eqn: 2]

[eqn: 5]

[eqn: a]

[eqn: x]

9. [출제의도] 집합의 포함 관계　이해하기

전체집합 [eqn: U= LEFT { 1,`2,`3,`4 RIGHT } `]의 모든 부분집합은

[eqn: phi], [eqn: LEFT { 1 RIGHT }], [eqn: LEFT { 2 RIGHT }], [eqn: LEFT { 3 RIGHT }], [eqn: LEFT { 4 RIGHT }], [eqn: LEFT { 1,`2 RIGHT }], [eqn: LEFT { 1,3 RIGHT }], [eqn: LEFT { 1,4 RIGHT }], [eqn: LEFT { 2,`3 RIGHT }], [eqn: LEFT { 2,4 RIGHT }], [eqn: LEFT { 3, 4 RIGHT }], [eqn: LEFT { 1,`2,`3 RIGHT }], [eqn: LEFT { 1,2,`4 RIGHT }], [eqn: LEFT { 1,`3,`4 RIGHT }], [eqn: LEFT { 2,`3,`4 RIGHT }], [eqn: LEFT { 1,`2,`3,`4 RIGHT }`]이다.

[eqn: LEFT { 1`,``2 RIGHT } SMALLINTER A != EMPTYSET `]이므로 집합 [eqn: A`]는 [eqn: 1,`2``]중 적어도 하나를 원소로 가져야 한다.

[eqn: 1,`2]를 원소로 갖지 않는 전체집합 [eqn: U``]의 부분집합을
모두 구하면 [eqn: phi], [eqn: LEFT { 3 RIGHT }], [eqn: LEFT { 4 RIGHT }], [eqn: LEFT { 3, 4 RIGHT }]이므로 집합 [eqn: A``]의 개수는 [eqn: 16-4=12`]이다.

10. [출제의도] 무리함수의 그래프 이해하기

함수 [eqn: y`=` sqrt {x+a}`]의 그래프는 함수 [eqn: y= sqrt {x}`]의

그래프를 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: -a`]만큼 평행이동한 것이므로 그림과 같다.

[eqn: y]

[eqn: -7]

[eqn: -a]

[eqn: rmO]

[eqn: -1]

[eqn: x]

[eqn: LEFT ( 2,`3 RIGHT )]

[eqn: LEFT ( 3,`2 RIGHT )]

함수 [eqn: y`=` sqrt {x+a}`]의 그래프가 두 점 [eqn: (2,`3)], [eqn: LEFT ( 3,`2 RIGHT ) `]를 지나는 선분과 만나도록 평행이동하여 점 [eqn: LEFT ( 3,`2 RIGHT )`]를

지날 때 실수 [eqn: a]는 최소이므로 [eqn: sqrt {3+a} =2]이다. [eqn: THEREFORE a=1`] 그리고 점 [eqn: LEFT ( 2,`3 RIGHT )`]을 지날 때 실수 [eqn: a`]는 최대이므로 [eqn: sqrt {2+a} =3`]이다. [eqn: THEREFORE a=7]

따라서 최댓값 [eqn: M=7], 최솟값 [eqn: m=1`]이므로

[eqn: M+m=7+1=8`]이다.

11. [출제의도] 집합의 연산을 이용하여 실생활 문제 해결하기

수학을 신청한 모든 학생의 집합을 [eqn: A], 영어를 신청한 모든 학생의 집합을 [eqn: B`]라 하자.

[eqn: n` LEFT ( A` CUP B` RIGHT ) =`n LEFT ( A RIGHT ) +n LEFT ( B` RIGHT ) -n LEFT ( A` SMALLINTER B` RIGHT )]

[eqn: =24+15-n LEFT ( A` SMALLINTER B` RIGHT ) LEQ 30]

[eqn: THEREFORE n LEFT ( A` SMALLINTER B` RIGHT ) GEQ 9`]

한편 [eqn: A SMALLINTER B` SUBSET B`]이므로 [eqn: n` LEFT ( A` SMALLINTER B` RIGHT ) LEQ n LEFT ( B` RIGHT ) =15]

이다.  [eqn: THEREFORE 9 LEQ n LEFT ( A` SMALLINTER B` RIGHT ) LEQ 15]

따라서 최댓값과 최솟값의 합은 [eqn: 15+9=24`]이다.

12. [출제의도] 함수의 극한 이해하기

[eqn: lim _{x -> 2} {{2xf LEFT ( x-2 RIGHT )} over {LEFT ( x+3 RIGHT ) LEFT ( x-2 RIGHT )}}][eqn: = lim _{x -> 2} {{2x} over {x+3} TIMES lim _{x -> 2} {{f LEFT ( x-2 RIGHT )} over {x-2}}}]

[eqn: = {4} over {5} TIMES 15=12`]

13. [출제의도] 역함수의 그래프 이해하기

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `=`x ^{2} -2x+k`=`(x-1) ^{2} +k-1] [eqn: LEFT ( x{geq}1 RIGHT )]

함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프와 그 역함수 [eqn: y= f``^-1 LEFT ( x RIGHT ) `]의

그래프가 만나는 점은 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프와

직선 [eqn: y=x`]가 만나는 점과 같다.

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: rm`O]

[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: y=f ^{`-1} LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: y=x]

[eqn: 1]

[eqn: k-1]

[eqn: rmP]

[eqn: rm H]

[eqn: k-1]

[eqn: 1]

따라서 점 [eqn: rmP]는 직선 [eqn: y=x] 위의 점이므로 점 [eqn: rmP]의

좌표를 [eqn: (t,~t)`]라 하면 삼각형 [eqn: rmPOH]의 넓이가 [eqn: 8]이므로 [eqn: {1} over {2} {times}t{times}t=8], [eqn: t ^{2} =16]이다. [eqn: therefore`t=4] [eqn: LEFT ( BECAUSE `t{geq}1 RIGHT )]

한편, 점 [eqn: rm P it (4,~4)`]는 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `=`x ^{2} -2x+k`]의

그래프 위의 점이므로 [eqn: LEFT. f{LEFT(4 RIGHT ) =4 ^{2} -2 TIMES 4+k=4`]이다.

∴ [eqn: k=`-4]

14. [출제의도] 상용로그 이해하기

[eqn: log`607+`log0.607``][eqn: =log LEFT ( 6.07 TIMES 10 ^{2} RIGHT ) `+`log` LEFT ( 6.07times`10 ^{-1`} RIGHT ) `]

[eqn: =2+log`6.07`+ LEFT ( -1 RIGHT ) +`log`6.07]

[eqn: =2log`6.07`+`1`][eqn: =2` TIMES `0.7832`+1][eqn: =2.5664`]

15. [출제의도] 수열의 합과 일반항 사이의 관계를 이용하여 여러 가지 수열의 합 문제 해결하기

[eqn: na _{n} = sum _{k=1} ^{n} ka _{k} - sum _{k=1} ^{n-1} ka _{k}] [eqn: LEFT ( n`ge`2 RIGHT )]

[eqn: =n LEFT ( n+1 RIGHT ) LEFT ( n+2 RIGHT ) - LEFT ( n-1 RIGHT ) n LEFT ( n+1 RIGHT )]

[eqn: =3n LEFT ( n+1 RIGHT )]

[eqn: THEREFORE `a _{n} =3 LEFT ( n+1 RIGHT )][eqn: LEFT ( n`ge`2 RIGHT )] [eqn: sum _{k=1} ^{1} ka _{k} =a _{1} =1 TIMES 2 TIMES 3=6=3 TIMES LEFT ( 1+1 RIGHT )`]이므로

모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: a _{n} =3 LEFT ( n+1 RIGHT )`]이다.

[eqn: THEREFORE sum _{k=1} ^{10} 3 LEFT ( k+1 RIGHT ) =3 LEFT ( {10{times}11} over {2} +10 RIGHT ) =3times65=195]

16. [출제의도] 절대부등식을 이용하여 도형 문제 해결하기

[eqn: a>1`]이고 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]의 좌표가 각각 [eqn: LEFT ( a,` {1} over {a-1} RIGHT )], [eqn: LEFT ( a,`-4a RIGHT )`]이므로 [eqn: {bar{rm PQ it}} = it ` {1} over {a-1} +4a`]이다.

이때 [eqn: a-1>0`]이므로

[eqn: 4a+` {1} over {a-1} & =4 LEFT ( a-1 RIGHT ) + {1} over {a-1} +4`]

[eqn: & GEQ 2` sqrt {4 LEFT ( a-1 RIGHT ) TIMES {1} over {a-1}} `+4`][eqn: =4+4=8`]

(단, 등호는 [eqn: a= {3} over {2}`]일 때 성립)

이다. 따라서 선분 [eqn: rmPQ]의 길이의 최솟값은 [eqn: 8]이다.

17. [출제의도] 수학적 귀납법 증명하기

(ⅰ) [eqn: n=3`]일 때, [eqn: a _{3} =4= {8} over {LEFT ( 3-1 RIGHT ) LEFT ( 3-2 RIGHT )} `]이므로

성립한다.

(ⅱ) [eqn: n=k][eqn: LEFT ( k` GEQ `3 RIGHT )]일 때, 성립한다고 가정하면

[eqn: a _{k} = {8} over {LEFT ( k-1 RIGHT ) LEFT ( k-2 RIGHT )}]

이다.

[eqn: k LEFT ( k-2 RIGHT ) a _{k+1} & = sum _{i=1} ^{k} a _{i} & =a _{k} + sum _{i=1} ^{k-1} a _{i}]

[eqn: =a _{k} + LEFT ( k-1 RIGHT ) LEFT ( k-3 RIGHT ) a _{k}]

[eqn: =a _{k} TIMES {BOX{```` LEFT ( k-2 RIGHT ) ^{2} ````}}]

[eqn: = {8} over {LEFT ( k-1 RIGHT ) LEFT ( k-2 RIGHT )} TIMES {BOX{```` LEFT ( k-2 RIGHT ) ^{2} ````}}]

[eqn: = {{BOX{````8 LEFT ( k-2 RIGHT ) ````}}} over {k-1}]

이다. 그러므로

[eqn: a _{k+1} = {1} over {k LEFT ( k-2 RIGHT )} TIMES {{BOX{````8` LEFT ( k-2 RIGHT ) ````}}} over {k-1} = {8} over {{BOX{````k` LEFT ( k-1 RIGHT ) ````}} ^{} ^{} ^{}}]

이다. 따라서 [eqn: n=k+1`]일 때 성립한다.

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 [eqn: n{ge}3]인 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: a _{n} = {8} over {LEFT ( n-1 RIGHT ) LEFT ( n-2 RIGHT )}`]이다.
위 과정에서

[eqn: f LEFT ( k RIGHT ) = LEFT ( k-2 RIGHT ) ^{2}], [eqn: g LEFT ( k RIGHT ) =8 LEFT ( k-2 RIGHT )], [eqn: h LEFT ( k RIGHT ) =k LEFT ( k-1 RIGHT )]

이므로 [eqn: {f LEFT ( 13 RIGHT ) TIMES g LEFT ( 14 RIGHT )} over {h LEFT ( 12 RIGHT )} = {11 ^{2} TIMES 8 TIMES 12} over {12 TIMES 11} =88`]이다.

18. [출제의도] 수열의 극한을 이용하여 도형 문제 해결하기

[eqn: x`]축, [eqn: y`]축에 동시에 접하고 원의 중심이 직선 [eqn: y=x`] 위에 있는 두 원의 반지름의 길이를 각각 [eqn: a], [eqn: b`]라 하면 두 원의 방정식은

[eqn: LEFT ( x-a RIGHT ) ^{2} + LEFT ( y-a RIGHT ) ^{2} =a ^{2}], [eqn: LEFT ( x+b RIGHT ) ^{2} + LEFT ( y+b RIGHT ) ^{2} =b ^{2}]

이다. 두 원의 중심 [eqn: LEFT ( a,`a RIGHT )], [eqn: LEFT ( -b,`-b RIGHT ) `]에서

직선 [eqn: 3x-4y+4 ^{n} =0`]까지의 거리가 각각 [eqn: a], [eqn: b`]이므로

[eqn: a= {LEFT | 3a-4a+4 ^{n} RIGHT |} over {sqrt {3 ^{2} +4 ^{2}}}][eqn: = {LEFT | -a+4 ^{n} RIGHT |} over {5}]

[eqn: a= {4 ^{n}} over {6}], [eqn: - {4 ^{n}} over {4}]  [eqn: THEREFORE a= {4 ^{n}} over {6}][eqn: LEFT ( BECAUSE a>0 RIGHT )]

[eqn: b= {LEFT | -3b+4b+4 ^{n} RIGHT |} over {sqrt {3 ^{2} +4 ^{2}}}] [eqn: = {LEFT | b+4 ^{n} RIGHT |} over {5}]

[eqn: b= {4 ^{n}} over {4}], [eqn: - {4 ^{n}} over {6}]  [eqn: THEREFORE b= {4 ^{n}} over {4}][eqn: LEFT ( BECAUSE b>0 RIGHT )]

이다. 두 원의 반지름의 길이는 각각 [eqn: {4 ^{n}} over {6}], [eqn: {4 ^{n}} over {4}`]이므로 [eqn: a _{n} = {4 ^{n}} over {6} + {4 ^{n}} over {4} = {5 TIMES 4 ^{n}} over {12}`]이다.

따라서 [eqn: lim _{n -> INF } {{a _{n}} over {4 ^{n} +1}} = lim _{n -> INF } {{{5 TIMES 4 ^{n}} over {12}} over {4 ^{n} +1}} = {5} over {12} `]이다.

19. [출제의도] 등비급수를 이용하여 도형 문제 추론하기

[eqn: rmA _{1}]

[eqn: rm B _{1}]

[eqn: rm C _{1}]

[eqn: rm D _{1}]

[eqn: rm E _{1}]

[eqn: rm F _{1}]

[eqn: rm I]

[eqn: rm G _{1}]

[eqn: rmO]

[eqn: rm A _{2}]

[eqn: rm B _{2}]

[eqn: rm C _{2}]

[eqn: rm D _{2}]

[eqn: rm E _{2}]

[eqn: rm F _{2}]

[eqn: rm H _{1}]

점 [eqn: rm G _{1}]에서 선분 [eqn: rmA _{1} B _{1}], [eqn: rm C _{1} F _{1}]에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rm I], [eqn: rmO]라 하자. [eqn: {bar{rm A _{1} B _{1} it}} ``:`` {bar{rm C _{1} F _{1} it}} = {bar{rm G _{1} I it}} ``:`` {bar{rm G _{1} O it}}]이고 [eqn: {bar{rm A _{1} B _{1} it}} =4], [eqn: {bar{rm C _{1} F _{1} it}}=8]이므로 [eqn: {bar{rm G _{1} O it}} =2` {bar{rm G _{1} I it}}]이다. 삼각형[eqn: rm OA _{1} B _{1}]이 한 변의 길이가 [eqn: 4]인 정삼각형이므로 [eqn: {bar{rm IO it}} = {sqrt {3}} over {2} TIMES 4=2 sqrt {3} `]이고, [eqn: {bar{rm G _{1} O it}} =2 sqrt {3} ` TIMES {2} over {3} = {4 sqrt {3}} over {3} `]이다. 따라서 마름모 [eqn: rm F _{1} G _{1} C _{1} H _{1}]의 넓이는

[eqn: {1} over {2} times {bar{rm G _{1} H _{1} it}} TIMES {bar{rm C _{1} F _{1} it}} = {1} over {2} TIMES LEFT ( {4 sqrt {3}} over {3} TIMES 2 RIGHT ) TIMES 8= {32} over {3} sqrt {3}]

이다. 한편,
사각형 [eqn: rm A it rm _{1} rm B it _{1} rm O it rm F it _{1}]은 마름모이고 점 [eqn: rm A it _{2}]는 선분 [eqn: rm B it rm _{1} rm F it rm _{1}]의 중점이므로 점 [eqn: rm A it _{2}]는 선분 [eqn: rm OA it rm _{1}]의 중점이다. 마찬가지로 점 [eqn: rm B it rm _{2}]는 선분 [eqn: rm OB it rm _{1}]의 중점이다. 따라서 [eqn: {bar{rm A it _{1} it rm B it _{1}}} ``:`` {bar{rm A it _{2} it rm B it _{2}}} `=2``:``1`]이므로 [eqn: {bar{rm A it rm _{2} it rm B it rm _{2} it}} =2`]이다.

그러므로 정육각형 [eqn: rm A _{2} B _{2} C _{2} D _{2} E _{2} F _{2}]는 한 변의 길이가 [eqn: 2`]이므로 넓이는 [eqn: {sqrt {3}} over {4} TIMES 2 ^{2} TIMES 6=6 sqrt {3}]이다.

따라서 [eqn: R _{`1} `]에서 색칠되어 있는 부분의 넓이 [eqn: S _{`1} `]은 다음과 같다.

[eqn: S _{`1} =](마름모 [eqn: rm F _{1} G _{1} C _{1} H _{1}]의 넓이)
- (정육각형 [eqn: rm A _{2} B _{2} C _{2} D _{2} E _{2} F _{2}]의 넓이)

[eqn: = {14} over {3} sqrt {3}]

[eqn: rm F _{itn}]

[eqn: rm A _{itn}]

[eqn: rm B _{itn}]

[eqn: rm C _{itn}]

[eqn: rm D _{itn}]

[eqn: rm E _{itn}]

[eqn: rm C _{itn+1}]

[eqn: rm D _{itn+1}]

[eqn: rm A _{it n+1 rm}]

[eqn: rm B _{itn+1}]

[eqn: rm E _{it n+1 rm}]

[eqn: rm F _{it n+1 rm}]

[eqn: rm O]

그림 [eqn: R _{`n} `]을 얻은 과정에서 새로 색칠한 도형의 넓이를 [eqn: a_n `]이라 하자. 그림 [eqn: R _{`n} `]에서 직선 [eqn: rm A it rm _{n} rm A it rm _{n+1}]과 직선 [eqn: {rm B} it rm _{n} {rm B} it rm _{n+1}]은 점 [eqn: rmO]에서 만난다. 점 [eqn: { rmA} _{n+1}]은 선분 [eqn: rmOA it rm _{n}]의 중점이므로 [eqn: {bar{{rm A} _{n} it {rmB} _{n}}} ``:`` {bar{{rm A} _{n+1} it {rmB} _{n+1}}} `=2``:``1`]이다. 따라서   [eqn: a _{n} ``:``a _{n+1} ``=2 ^{2} ``:``1`]이므로 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]의 공비 [eqn: r= {1} over {4} `]이다. 그러므로

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {S _{`n} = sum _{n=1} ^{inf} a _{n} = {S _{`1}} over {1-r} = {{14} over {3} sqrt {3}} over {1- {1} over {4}} = {56} over {9} sqrt {3}}]

이다.

20. [출제의도] 함수의 정의를 이용하여 명제 증명하기

ㄱ. [eqn: 10+m-1=9+m`]이 소수가 되도록 하는 가장
작은 자연수 [eqn: m`]은 [eqn: 2]이므로 [eqn: f LEFT ( 10 RIGHT ) =2`]이다. (참)

ㄴ. [eqn: f LEFT ( n RIGHT ) =5`]이면 [eqn: n+5-1=n+4`]는 소수이므로

[eqn: n+4+m-1=n+3+m`]이 소수가 되도록 하는 가장 작은 자연수 [eqn: m`]은 [eqn: 1]이므로 [eqn: f LEFT ( n+4 RIGHT ) =1`]이다. (참)

ㄷ. [eqn: f(n)=1`]이므로 [eqn: f(n)`]의 정의에 의해 [eqn: n`]은 소수이다. [eqn: LEFT ( n-3 RIGHT ) +m-1=n-4+m]은 [eqn: m=4`]이면 소수이므로 [eqn: f LEFT ( n-3 RIGHT ) le4`]이다. [eqn: 4`]보다 작은 자연수는 [eqn: f LEFT ( n-3 RIGHT ) `]이 될 수 없음을 귀류법을 이용하여 보이자.

(ⅰ) [eqn: m=1`]이면 [eqn: n-3`]은 소수이다. [eqn: n`]은 [eqn: 5] 이상의 소수이므로 홀수이고, [eqn: n-3`]은 짝수이다. 이를 만족하는 경우는 [eqn: n=5`]이고 [eqn: f LEFT ( 4 RIGHT ) `=2>1=`f LEFT ( 3 RIGHT ) `]이 되어 주어진 조건에 모순이다.

(ⅱ) [eqn: m=2`]이면 [eqn: f(n-2)=1`]이므로
[eqn: f LEFT ( n-1 RIGHT ) <f LEFT ( n-2 RIGHT ) =1`]이 되어 모순이다.

(ⅲ) [eqn: m=3`]이면 [eqn: f(n-1)=1`]이므로 [eqn: n-1`]과 [eqn: n`]이 모두 소수가 되어야 한다. 연속한 두 소수는 [eqn: 2], [eqn: 3`]뿐이므로 주어진 조건에 모순이다.

그러므로 [eqn: LEFT ( n-3 RIGHT ) +m`-1`]을 소수가 되도록 하는 가장 작은 자연수 [eqn: m`]은 [eqn: 4]이므로 [eqn: f(n-3)=4`]이다.(참)

21. [출제의도] 등비수열의 극한을 이용하여 수열의 합 문제 해결하기

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {x-1} over {2x-6}`]에 대하여

[eqn: LEFT | f LEFT ( 3-a RIGHT ) RIGHT | = LEFT | {LEFT ( 3-a RIGHT ) -1} over {2 LEFT ( 3-a RIGHT ) -6} RIGHT | = LEFT | {2-a} over {-2a} RIGHT | = LEFT | {a-2} over {2a} RIGHT |]  [eqn: LEFT | 1-f LEFT ( 3+a RIGHT ) RIGHT | = LEFT | 1- {LEFT ( 3+a RIGHT ) -1} over {2 LEFT ( 3+a RIGHT ) -6} RIGHT | = LEFT | {a-2} over {2a} RIGHT |]

이다. [eqn: h LEFT ( a RIGHT ) = {a-2} over {2a}][eqn: LEFT ( a != 0 RIGHT ) `]라 하면

[eqn: lim _{n -> INF } {` {LEFT | f LEFT ( 3-a RIGHT ) RIGHT | ^{n+1}} over {`2 ^{n} + LEFT | 1-f LEFT ( 3+a RIGHT ) RIGHT | ^{n} ``}} = lim _{n -> INF } {{LEFT | h LEFT ( a RIGHT ) RIGHT | ^{n+1}} over {2 ^{n} + LEFT | h LEFT ( a RIGHT ) RIGHT | ^{n}}}]

이다.

(ⅰ) [eqn: LEFT | h LEFT ( a RIGHT ) RIGHT | <2`]일 때,

[eqn: LEFT | {h LEFT ( a RIGHT )} over {2} RIGHT | <1`]이고 [eqn: lim _{n -> INF } {LEFT | {h LEFT ( a RIGHT )} over {2} RIGHT |} ^{n} =0`]이므로

[eqn: lim _{n -> INF } {{LEFT | h LEFT ( a RIGHT ) RIGHT | ^{n+1}} over {2 ^{n} + LEFT | h LEFT ( a RIGHT ) RIGHT | ^{n}}} = lim _{n -> INF } {{2 LEFT | {h LEFT ( a RIGHT )} over {2} RIGHT | ^{n+1}} over {1+ LEFT | {h LEFT ( a RIGHT )} over {2} RIGHT | ^{n}} =0}]

이 되어 [eqn: k=0`]이다.

(ⅱ) [eqn: LEFT | h LEFT ( a RIGHT ) RIGHT | =2`]일 때,

[eqn: lim _{n -> INF } {{LEFT | h LEFT ( a RIGHT ) RIGHT | ^{n+1}} over {2 ^{n} + LEFT | h LEFT ( a RIGHT ) RIGHT | ^{n}}} = lim _{n -> INF } {{2 ^{n+1}} over {2 ^{n} +2 ^{n}} =1}]

이 되어 [eqn: k=1`]이다.

(ⅲ) [eqn: LEFT | h LEFT ( a RIGHT ) RIGHT | >2`]일 때,

[eqn: LEFT | {2`} over {h LEFT ( a RIGHT )} RIGHT | <1`]이고 [eqn: lim _{n -> INF } {LEFT | {2} over {h LEFT ( a RIGHT )} RIGHT |} ^{n} =0`]이므로

[eqn: lim _{n -> INF } {{LEFT | h LEFT ( a RIGHT ) RIGHT | ^{n+1}} over {2 ^{n} + LEFT | h LEFT ( a RIGHT ) RIGHT | ^{n}}} = lim _{n -> INF } {{LEFT | h LEFT ( a RIGHT ) RIGHT |} over {LEFT | {2} over {h LEFT ( a RIGHT )} RIGHT | ^{n} +1} = LEFT | h LEFT ( a RIGHT ) RIGHT |}]

이다.

[eqn: LEFT | h LEFT ( a RIGHT ) RIGHT | = LEFT | {a-2} over {2a} RIGHT | = LEFT | {1} over {a} - {1} over {2} RIGHT | =k`]([eqn: k{geq}3]인 자연수)를

만족시키는 [eqn: a`]를 구하면

[eqn: {1} over {a} - {1} over {2} =k`]일 때, [eqn: a= {2} over {2k+1}]

[eqn: {1} over {a} - {1} over {2} =`-k`]일 때, [eqn: a=`- {2} over {2k-1}]

이다. 따라서 [eqn: g LEFT ( k RIGHT ) =`-2 LEFT ( {1} over {2k-1} - {1} over {2k+1} RIGHT ) `]이다.

[eqn: sum _{k=3} ^{17} g LEFT ( k RIGHT ) =`-2 sum _{k=3} ^{17} LEFT ( {1} over {2k-1} - {1} over {2k+1} RIGHT )]

[eqn: =`-2 LEFT ( {1} over {5} - {1} over {7} + {1} over {7} - {1} over {9} + CDOTS + {1} over {33} - {1} over {35} RIGHT )]

[eqn: =`-2 LEFT ( {1} over {5} - {1} over {35} RIGHT ) =`- {12} over {35}]

22. [출제의도] 함수의 극한 계산하기

[eqn: lim _{x -> `1} {LEFT ( x ^{2} +3x+1 RIGHT )} =1 ^{2} +3+1=5]

23. [출제의도] 등차수열의 항 계산하기

등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]의 공차를 [eqn: d`]라 하면

[eqn: a _{4} `-a _{2} =2d=6] [eqn: THEREFORE d=3]

이므로 [eqn: a _{5} =a _{1} +4d=4+4 TIMES 3=16`]이다.

24. [출제의도] 급수의 수렴 이해하기

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } LEFT ( a _{n} - {5n} over {n+2} RIGHT ) `]은 수렴하므로 [eqn: lim _{n -> INF } {LEFT ( a _{n} - {5n} over {n+2} RIGHT )} =0]
이다. 따라서

[eqn: lim _{n -> INF } {a _{n}} =][eqn: lim _{n -> INF } {LEFT { LEFT ( a _{n} - {5n} over {n+2} RIGHT ) + {5n} over {n+2} RIGHT }} =0+5=5]

이다. 그러므로 [eqn: lim _{n -> INF } {LEFT ( 4a _{n} +3 RIGHT )} =4 TIMES 5`+3=23`]이다.

25. [출제의도] 수열의 귀납적 정의 이해하기

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]은 [eqn: 0,`0,`1,`1,`1,`2,`2,`2,`3,` CDOTS `]이므로

수열 [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT } `]을 구해보면

[eqn: b _{1} = LEFT ( -1 RIGHT ) ^{0} TIMES 5 ^{0} =1], [eqn: b _{2} = LEFT ( -1 RIGHT ) ^{1} TIMES 5 ^{0} =`-1]

[eqn: b _{3} = LEFT ( -1 RIGHT ) ^{2}TIMES 5 ^{1} =5], [eqn: b _{4} = LEFT ( -1 RIGHT ) ^{3} TIMES 5 ^{1} =`-5]

[eqn: b _{5} = LEFT ( -1 RIGHT ) ^{4} TIMES5 ^{1} =5], [eqn: b _{6} = LEFT ( -1 RIGHT ) ^{5} TIMES 5 ^{2} =`-25]

[eqn: b _{7} = LEFT ( -1 RIGHT ) ^{6} TIMES5 ^{2} =25], [eqn: b _{8} = LEFT ( -1 RIGHT ) ^{7} TIMES 5 ^{2} =`-25]

[eqn: b _{9} = LEFT ( -1 RIGHT ) ^{8} TIMES 5 ^{3} =125`]이다. 따라서

[eqn: sum _{k=1} ^{9} b _{k} ` & =1-1+5-5+5-25+25-25+125 & =105]

이다.

26. [출제의도] 함수의 그래프를 이용하여 방정식 문제 해결하기

주어진 조건에 맞는 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프는 다음과 같다.

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: rm `O]

[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: n=5]

[eqn: 2]

[eqn: 4]

[eqn: n=6]

[eqn: 5]

[eqn: 6]

[eqn: 1]

[eqn: n=2]

방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `=` {1} over {n} x`]의 서로 다른 실근의 개수는

함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프와 직선 [eqn: y= {1} over {n} x`]가 만나는 점의 개수이다.

(ⅰ) [eqn: n=1`]일 때, 무수히 많은 점에서 만난다.

(ⅱ) [eqn: 2 LEQ n LEQ 4`]일 때, 만나는 점의 개수는 [eqn: 3]

(ⅲ) [eqn: n=5`]일 때, 만나는 점의 개수는 [eqn: 5]

(ⅳ) [eqn: 6 LEQ n LEQ 8`]일 때, 만나는 점의 개수는 [eqn: 7]

(ⅴ) [eqn: n=9`]일 때, 만나는 점의 개수는 [eqn: 9]

(ⅵ) [eqn: 10 LEQ n LEQ 12`]일 때, 만나는 점의 개수는 [eqn: 11]

따라서 만나는 점의 개수가 [eqn: 11`]이 되도록 하는

자연수 [eqn: n`]은 [eqn: 10,`11,`12]이다.

모든 자연수 [eqn: n`]의 값의 합은 [eqn: 10+11+12=33`]이다.

27. [출제의도] 함수의 극한을 이용하여 함수의 연속성 문제 해결하기

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]는 [eqn: x=1`]에서 불연속이므로

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) -a RIGHT } `]가 실수 전체의 집합에서 연속이 되기 위해서는 [eqn: x=1`]에서 연속이어야 한다.

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) LEFT { f LEFT ( 1 RIGHT ) -a RIGHT } =`-(-1-a)=1+a],

[eqn: lim _{x` -> `1-} {f LEFT ( x RIGHT ) LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) -a RIGHT }} =`-(-1-a)`=1+a], [eqn: lim _{x` -> `1+} {f LEFT ( x RIGHT ) LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) -a RIGHT }} =15(15-a)`]

에서 [eqn: 1+a=15(15-a)`]이다. [eqn: THEREFORE `a=14]

28. [출제의도] 거듭제곱근의 정의를 이용하여 수열의 합 문제 해결하기

두 함수 [eqn: y= LEFT ( x+2 RIGHT ) ^{2}][eqn: LEFT ( x` GEQ -2 RIGHT )], [eqn: y=n`]의 그래프는 다음과 같다.

[eqn: y]

[eqn: -2]

[eqn: a _{2}]

[eqn: rm`O]

[eqn: a _{6}]

[eqn: x]

[eqn: y=6]

[eqn: y=2]

[eqn: y=4]

(ⅰ) [eqn: n=2], [eqn: 3]일 때, [eqn: a _{n} <0`]이므로

[eqn: F(2)=0], [eqn: F(3)=1`]이다.

(ⅱ) [eqn: n=4`]일 때, [eqn: a _{n} =0`]이므로 [eqn: F(4)=1`]이다.

(ⅲ) [eqn: n GEQ 5`]일 때, [eqn: a _{n} >0]

① [eqn: 5`]이상인 홀수 [eqn: n`]에 대하여, [eqn: n`]제곱하여
양수 [eqn: a _{n} `]이 되는 실수는 [eqn: root {n} of {a _{n}} `]이므로

[eqn: F LEFT ( 5 RIGHT ) =F LEFT ( 7 RIGHT ) =F LEFT ( 9 RIGHT ) =` CDOTS `=F LEFT ( 19 RIGHT ) =1`]이다.

② [eqn: 6`]이상인 짝수 [eqn: n`]에 대하여, [eqn: n`]제곱하여
양수 [eqn: a _{n} `]이 되는 실수는 [eqn: root {n} of {a _{n}}], [eqn: - root {n} of {a _{n}} `]이므로

[eqn: F LEFT ( 6 RIGHT ) =F LEFT ( 8 RIGHT ) =F LEFT ( 10 RIGHT ) =` CDOTS `=F LEFT ( 20 RIGHT ) =2`]이다.

[eqn: THEREFORE sum _{n=2} ^{20} F(n)`][eqn: =0+1+1+ LEFT ( 1 TIMES 8 RIGHT ) + LEFT ( 2 TIMES 8 RIGHT ) =26``]

29. [출제의도] 로그의 정의를 이용하여 집합의 원소의 개수 추론하기

[eqn: `log _{`a`} b`=` {k} over {2} ``][eqn: LRARROW] [eqn: b=a`` ^{{k} over {2}} `][eqn: LRARROW] [eqn: b ^{2} =a` ^{k} `]이므로

[eqn: LEFT . A _{k} = LEFT { ` {b} over {a} RIGHT | `b ^{2} =a ^{k} RIGHT .], [eqn: a`]와 [eqn: b`]는 [eqn: 2] 이상 [eqn: 100] 이하의 자연수[eqn: LEFT . pile{`#`} RIGHT }]이다.

([eqn: ⅰ)] [eqn: k=3`]일 때

[eqn: b ^{2} =a ^{3} `]을 만족하는 자연수 [eqn: a], [eqn: b`]의 순서쌍은

[eqn: LEFT ( 2 ^{2} ,`2 ^{3} RIGHT ) `], [eqn: LEFT ( 3 ^{2} ,`3 ^{3} RIGHT ) `], [eqn: LEFT ( 4 ^{2} ,`4 ^{3} RIGHT ) `]이므로 [eqn: A _{3} = LEFT { 2,`3,`4 RIGHT } `]이다. 따라서 [eqn: n LEFT ( A _{3} RIGHT ) =3`]이다.

([eqn: ⅱ)] [eqn: k=4`]일 때

[eqn: b ^{2} =a ^{4} `]을 만족하는 자연수 [eqn: a], [eqn: b`]의 순서쌍은

[eqn: LEFT ( 2,`2 ^{2} RIGHT )], [eqn: LEFT ( 3,`3 ^{2} RIGHT )], [eqn: LEFT ( 4,`4 ^{2} RIGHT )], [eqn: cdots], [eqn: LEFT ( 9, 9^2 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 10,10 ^{2} RIGHT)]

이므로 [eqn: A _{4} = LEFT { 2,`3,`4,` CDOTS ,`10 RIGHT } `]이다.

따라서 [eqn: n LEFT ( A _{4} RIGHT ) =9`]이다.

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 [eqn: n LEFT ( A _{3} RIGHT ) +n LEFT ( A _{4} RIGHT ) =3+9=12`]이다.

30. [출제의도] 함수의 그래프를 이용하여 함수의 극한 문제 해결하기

(ⅰ) [eqn: k=1`]일 때

방정식 [eqn: LEFT | g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT | =b`]의 서로 다른 실근의 개수는
[eqn: 2,`4,`6]이므로 조건 (나)를 만족시키지 않는다.

[eqn: y]

[eqn: rmO]

[eqn: b]

[eqn: 2b]

[eqn: x]

[eqn: y= LEFT | g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT |]

(ⅱ) [eqn: k>1`]일 때

방정식 [eqn: LEFT | g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT | =b`]의 서로 다른 실근의 개수는 직선 [eqn: y=b`]가 함수 [eqn: y= LEFT | g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT | `(x<b)`]의 그래프에 접할 때 [eqn: 5]이다.

[eqn: y]

[eqn: rmO]

[eqn: b]

[eqn: 2b]

[eqn: x]

[eqn: y= LEFT | g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT |]

[eqn: LEFT | g LEFT ( {b} over {2} RIGHT ) RIGHT | =b`]이므로 [eqn: -f LEFT ( {b} over {2} RIGHT ) =b`]에서 [eqn: ab=4`]이다.

[eqn: a`], [eqn: b`]는 자연수이므로 가능한 순서쌍 [eqn: (a,``b)`]는
[eqn: (1,``4),``(2,``2),`(4,``1)`]이고 [eqn: b LEQ 4`]이다.

조건 (가)에서

[eqn: g LEFT ( 6 RIGHT ) =kf LEFT ( 6-b RIGHT ) =ka(6-b)(6-2b)=`-8]

[eqn: ka(6-b)(3-b)=`-4`` CDOTS CDOTS ㉠]

[eqn: 3-b<0`]이므로 만족시키는 자연수 [eqn: b`]는 [eqn: 4]이다.

그러므로 [eqn: a=1`]이고 [eqn: ㉠]에서 [eqn: k=2`]이다.

따라서

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {cases{`x(x-4) _{{}_{{}_{{}_{{}_{}}}}}&`(x<4) _{{}_{{}_{{}_{{}_{}}}}}#`2(x-4)(x-8)&`(x GEQ 4)}} `]

이다.

(ⅲ) [eqn: k<1`]일 때

방정식 [eqn: LEFT | g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT | =b`]의 서로 다른 실근의 개수는
직선 [eqn: y=b`]가 함수 [eqn: y= LEFT | g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT |][eqn: (x GEQ b)`]의 그래프에 접할 때 [eqn: 5]이다.

[eqn: y]

[eqn: rmO]

[eqn: b]

[eqn: 2b]

[eqn: x]

[eqn: y= LEFT | g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT |]

[eqn: LEFT | g LEFT ( {3} over {2} b RIGHT ) RIGHT | =b`]이므로

[eqn: -kf LEFT ( {3b} over {2} -b RIGHT ) =b`], [eqn: kab=`4`]

이다. 조건 (가)에서

① [eqn: b>6`]일 때

[eqn: g LEFT ( 6 RIGHT ) =f LEFT ( 6 RIGHT ) =6a(6-b)`=`-8], [eqn: 3a(b-6)=4]

이다. 이 식의 좌변은 [eqn: 3]의 배수이지만 우변은
[eqn: 3]의 배수가 아니다. 따라서 만족하는 두 자연수 [eqn: a], [eqn: b`]는 존재하지 않는다.

② [eqn: b LEQ 6`]일 때

[eqn: g LEFT ( 6 RIGHT ) =kf LEFT ( 6-b RIGHT ) =ka(6-b)(6-2b)=`-8`],

[eqn: ka(6-b)(3-b)=`-4`` CDOTS CDOTS ㉡]

이다. 이 식의 좌변에서 [eqn: k>0`], [eqn: a>0`], [eqn: 6-b GEQ 0`]

이므로 [eqn: 3-b<0`]이어야 한다.

가능한 자연수 [eqn: b`]는 [eqn: 4] 또는 [eqn: 5]이다.

[eqn: b=4], [eqn: 5]를 [eqn: ㉡]에 각각 대입하면 [eqn: ka=2`]이다.

그런데 [eqn: kab=4`]이므로 [eqn: b=2`]이다. 이는 모순이다.

따라서 주어진 조건을 만족하는 두 자연수 [eqn: a], [eqn: b`]는 존재하지 않는다.

(ⅰ)∼(ⅲ)으로부터

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {cases{`x(x-4) _{{}_{{}_{{}_{{}_{}}}}}&`(x<4) _{{}_{{}_{{}_{{}_{}}}}}#`2(x-4)(x-8)&`(x GEQ 4)}} `]

이다.

[eqn: y]

[eqn: rmO]

[eqn: 4]

[eqn: 8]

[eqn: x]

[eqn: y= LEFT | g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT |]

[eqn: m=`-6]

[eqn: m=24-6 sqrt {14}]

[eqn: m= {1} over {4}]

[eqn: m= {1} over {8}]

직선 [eqn: y=mx-1`]이 [eqn: (4,``0)`]을 지날 때 [eqn: m`]의 값을 [eqn: m _{1} `]이라고 하자.

[eqn: m _{1} `]은 직선 [eqn: y=mx-1`]이 점 [eqn: (4,``0)`]을 지날 때의 기울기이므로 [eqn: m _{1} = {1} over {4} `]이다.

이차함수 [eqn: y=`-2(x-4)(x-8)`]의 그래프에 접할 때 [eqn: m`]의 값을 [eqn: m _{2} `]라 하자.

[eqn: m _{2} `]는 직선 [eqn: y=mx-1`]이 함수

[eqn: y=`-2(x-4)(x-8)`]의 그래프에 접할 때이므로
이차방정식 [eqn: -2(x-4)(x-8)`=mx-1`]의
판별식[eqn: LEFT ( D=0 RIGHT ) `]을 이용하여 구하면 [eqn: m _{2} =24-6 sqrt {14} `]이다.

[eqn: 24-6 sqrt {14}]

[eqn: y]

[eqn: 1]

[eqn: 2]

[eqn: 3]

[eqn: 4]

[eqn: -6]

[eqn: rmO]

[eqn: {1} over {8}]

[eqn: {1} over {4}]

[eqn: m]

[eqn: y=h LEFT ( m RIGHT )]

위 그림에서[eqn: lim _{m -> t-} {h LEFT ( m RIGHT )} + lim _{m -> t+} {h LEFT ( m RIGHT )} =6`]을 만족시키는
모든 실수 [eqn: t`]의 값은 [eqn: {1} over {4}], [eqn: 24-6 sqrt {14}]이므로

[eqn: {1} over {4} + LEFT ( 24-6 sqrt {14} RIGHT ) `= {97} over {4} -6 sqrt {14} `]에서
[eqn: p= {97} over {4}], [eqn: q=`-6`]이다.

따라서 [eqn: 12(p+q)=12 LEFT ( {97} over {4} -6 RIGHT ) `=219`]이다.